Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2026 · Junio

Enunciado

Durante la misión Dulcinea, el equipo de control clasifica las alertas técnicas detectadas a bordo en tres sistemas: sistema de navegación, que genera el

50\%

de las alertas, el sistema de comunicaciones, que genera el

30\%

de las alertas y el sistema de soporte vital, que genera el

20\%

de las alertas.

Además, se sabe que el

4\%

de las alertas de navegación, el

6\%

de las de comunicaciones y el

10\%

de las alertas de soporte vital, son críticas. Si se elige una alerta al azar.

a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que la alerta sea crítica.

b) (1 punto) Sabiendo que la alerta no es crítica, calcula la probabilidad de que proceda del soporte vital.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ P(C) = 0{,}058\;}

\boxed{\;\text{b)}\ P(S \mid \overline{C}) = \frac{0{,}18}{0{,}942} = \frac{30}{157} \approx 0{,}1911\;}

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Estrategia

Es el esquema clásico de probabilidad total y Bayes. Cada alerta sale de uno, y solo uno, de los tres sistemas: navegación, comunicaciones o soporte vital forman una partición. De cada sistema conocemos qué parte de sus alertas son críticas, es decir, probabilidades condicionadas al sistema.

En a) sumamos las tres ramas del árbol que acaban en "crítica" (probabilidad total). En b) la información va al revés: sabemos el resultado (no es crítica) y preguntamos por el origen, así que aplicamos Bayes. El denominador es la probabilidad de "no crítica", que sale directamente del apartado a) como complementario.

Desarrollo

Sucesos.

N

: la alerta procede de navegación;

M

: de comunicaciones;

S

: de soporte vital;

C

: la alerta es crítica.

Datos:

P(N) = 0{,}5, \quad P(M) = 0{,}3, \quad P(S) = 0{,}2

P(C \mid N) = 0{,}04, \quad P(C \mid M) = 0{,}06, \quad P(C \mid S) = 0{,}10

y, por complementarios,

P(\overline{C} \mid N) = 0{,}96

P(\overline{C} \mid M) = 0{,}94

P(\overline{C} \mid S) = 0{,}90

.

Diagrama de árbol.

Sistema	$P(\text{sistema})$	$P(C \mid \text{sistema})$	$P(\text{sistema} \cap C)$	$P(\text{sistema} \cap \overline{C})$
Navegación $N$	$0{,}5$	$0{,}04$	$0{,}020$	$0{,}480$
Comunicaciones $M$	$0{,}3$	$0{,}06$	$0{,}018$	$0{,}282$
Soporte vital $S$	$0{,}2$	$0{,}10$	$0{,}020$	$0{,}180$
Total	$1$		$0{,}058$	$0{,}942$

a) Como

\{N, M, S\}

es un sistema completo de sucesos, por el teorema de la probabilidad total:

P(C) = P(N)\,P(C \mid N) + P(M)\,P(C \mid M) + P(S)\,P(C \mid S)

P(C) = 0{,}5\cdot 0{,}04 + 0{,}3\cdot 0{,}06 + 0{,}2\cdot 0{,}10 = 0{,}020 + 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}058

Es decir, el

5{,}8\%

de las alertas son críticas.

b) Nos piden

P(S \mid \overline{C})

. Primero, la probabilidad de que la alerta no sea crítica:

P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0{,}058 = 0{,}942

(coincide con la suma de la última columna:

0{,}480 + 0{,}282 + 0{,}180 = 0{,}942

). Por el teorema de Bayes:

P(S \mid \overline{C}) = \frac{P(S)\,P(\overline{C} \mid S)}{P(\overline{C})} = \frac{0{,}2\cdot 0{,}90}{0{,}942} = \frac{0{,}18}{0{,}942} = \frac{30}{157} \approx 0{,}1911

Tiene sentido que sea algo menor que

P(S) = 0{,}2

: el soporte vital es el sistema con más alertas críticas, así que saber que la alerta no es crítica hace un poco menos probable que venga de él.

En la simulación puedes ver el árbol con estos datos; la pregunta resaltada es la de b).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el dato es "no es crítica": el numerador lleva $P(\overline{C} \mid S) = 0{,}90$ , no el $0{,}10$ . Es el despiste más frecuente y cuesta casi todo el apartado.

Define los sucesos con letras y escribe la fórmula de Bayes antes de sustituir: la corrección valora el planteamiento. Un árbol o una tabla bien rotulados ya cuentan como justificación.