Resuelve los siguientes apartados a) (1,25 puntos) Calcula razonadamente el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x) = \dfrac{3}{x} y g(x) = -x + 4. b) (0,75 puntos) Calcula razonadamente el siguiente límite \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - 1}{x^2}

Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

Resuelve los siguientes apartados

a) (1,25 puntos) Calcula razonadamente el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

f(x) = \dfrac{3}{x}

g(x) = -x + 4

.

b) (0,75 puntos) Calcula razonadamente el siguiente límite

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - 1}{x^2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Área} = \int_1^3 \left(-x + 4 - \frac{3}{x}\right) dx = 4 - 3\ln 3 \approx 0{,}704 \ \text{u}^2}

\boxed{\text{b)}\ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}}

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Estrategia

En a) el recinto queda encerrado entre los puntos donde se cortan la hipérbola y la recta. Igualamos las dos funciones para hallar los límites de integración, vemos cuál va por encima en ese tramo e integramos la diferencia «la de arriba menos la de abajo». Ojo:

f

no está definida en

x = 0

, así que hay que asegurarse de que el intervalo no lo contiene.

En b) al sustituir sale

\frac{0}{0}

. Aplicamos la regla de L'Hôpital, y como vuelve a salir

\frac{0}{0}

, la aplicamos una segunda vez.

Desarrollo

a) Puntos de corte. Igualamos (con

x \neq 0

\frac{3}{x} = -x + 4 \;\Longrightarrow\; 3 = -x^2 + 4x \;\Longrightarrow\; x^2 - 4x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (x - 1)(x - 3) = 0.

Se cortan en

x = 1

x = 3

, es decir, en los puntos

(1, 3)

(3, 1)

. Para

x < 0

no hay más cortes: allí

\frac{3}{x} < 0

-x + 4 > 4

. El único recinto cerrado está entre

x = 1

x = 3

, donde

f

es continua (no contiene el

0

).

Qué función va por encima. En un punto intermedio,

x = 2

g(2) = 2

f(2) = \frac{3}{2}

. Como las gráficas solo se cortan en los extremos, en todo

(1, 3)

la recta va por encima de la hipérbola.

Área.

\text{Área} = \int_1^3 \left(-x + 4 - \frac{3}{x}\right) dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 4x - 3\ln x\right]_1^3.

(En

[1, 3]

x > 0

, así que

\ln|x| = \ln x

.) Por la regla de Barrow:

\left(-\frac{9}{2} + 12 - 3\ln 3\right) - \left(-\frac{1}{2} + 4 - 3\ln 1\right) = \frac{15}{2} - 3\ln 3 - \frac{7}{2} = 4 - 3\ln 3.

\text{Área} = 4 - 3\ln 3 \approx 0{,}704 \ \text{u}^2.

Sale positivo, como debe ser un área.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Al sustituir

x = 0

: numerador

e^0 - \operatorname{sen} 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0

, denominador

0

. Es una indeterminación

\frac{0}{0}

y numerador y denominador son derivables, así que aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \operatorname{sen} x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2x}.

De nuevo

\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}

. Aplicamos L'Hôpital otra vez:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \operatorname{sen} x}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}.

Consejo

En a) el orden importa: «la de arriba menos la de abajo». Si integras $\frac{3}{x} - (-x + 4)$ te sale $3\ln 3 - 4 < 0$ , y un área negativa es un error que se penaliza aunque luego quites el signo. Comprueba siempre con un punto intermedio qué función va por encima.

En b), antes de cada L'Hôpital escribe que hay una indeterminación $\frac{0}{0}$ : es la hipótesis que la corrección pide. Y cuidado con el signo al derivar: $(-\operatorname{sen} x)' = -\cos x$ .