Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

a) (1 punto) Halla, razonadamente, los coeficientes

a

b

c

sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de coordenadas

(1, 4)

y que la recta tangente en el punto de abscisa

x = 3

es paralela a la recta de ecuación

y = 2x - 1

.

b) (1 punto) Para los valores de los coeficientes obtenidos en el apartado anterior, determina la ecuación de la recta normal a

f(x)

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = -\frac{11}{2},\ b = 8,\ c = \frac{1}{2};\quad f(x) = x^3 - \frac{11}{2}x^2 + 8x + \frac{1}{2}}

\boxed{\text{b)}\ y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} \quad (x + 8y - 4 = 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay tres incógnitas, así que buscamos tres condiciones y las traducimos a ecuaciones:

«Extremo relativo en $(1, 4)$ » da dos: la gráfica pasa por ese punto, $f(1) = 4$ , y la derivada se anula ahí, $f'(1) = 0$ (la función es polinómica, derivable en todo $\mathbb{R}$ ).
«Tangente en $x = 3$ paralela a $y = 2x - 1$ » da la tercera: rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que $f'(3) = 2$ .

Resolvemos el sistema y comprobamos que en

x = 1

hay de verdad un extremo.

En b) la recta normal es la perpendicular a la tangente: su pendiente es

-\dfrac{1}{f'(0)}

Desarrollo

a) La derivada es

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

. Las tres condiciones:

f'(1) = 0:\quad 3 + 2a + b = 0 \;\Longrightarrow\; 2a + b = -3

f'(3) = 2:\quad 27 + 6a + b = 2 \;\Longrightarrow\; 6a + b = -25

f(1) = 4:\quad 1 + a + b + c = 4 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 3

Restando la primera ecuación a la segunda:

4a = -22 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{11}{2}.

Entonces

b = -3 - 2a = -3 + 11 = 8

, y

c = 3 - a - b = 3 + \dfrac{11}{2} - 8 = \dfrac{1}{2}

f(x) = x^3 - \frac{11}{2}x^2 + 8x + \frac{1}{2}.

Comprobaciones.

$f(1) = 1 - \frac{11}{2} + 8 + \frac{1}{2} = 4$ ✓
$f'(1) = 3 - 11 + 8 = 0$ ✓
$f'(3) = 27 - 33 + 8 = 2$ ✓
Que $f'(1) = 0$ no garantiza por sí solo un extremo. Con la derivada segunda, $f''(x) = 6x - 11$ , $f''(1) = -5 < 0$ : en $(1, 4)$ hay un máximo relativo, así que la condición del enunciado se cumple de verdad. ✓

b) Punto de la gráfica y pendiente de la tangente en

x = 0

f(0) = \frac{1}{2}, \qquad f'(0) = b = 8.

La recta normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es

m_n = -\dfrac{1}{f'(0)} = -\dfrac{1}{8}

y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{2},

o, sin denominadores,

x + 8y - 4 = 0

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Consejo

«Extremo relativo en $(1, 4)$ » son dos condiciones: $f'(1) = 0$ y $f(1) = 4$ . Si solo usas la de la derivada te queda una incógnita libre y no puedes hallar $c$ .

«Paralela a $y = 2x - 1$ » significa pendiente $2$ , es decir, $f'(3) = 2$ ; no que $f(3) = 2\cdot 3 - 1$ . Y en b) no confundas tangente con normal: la pendiente de la normal es $-1/f'(0)$ .