Sean los puntos del espacio A(1, 2, -1), B(3, 6, 1) y C(m, m, m - 2), donde m es un número real. a) (0,75 puntos) Determina el valor de m para que los puntos A, B y C estén alineados. b) (1,25 puntos) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, determina la distancia del punto P(2, 0, 1) a la recta que forman A, B y C.

Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Vectores y ángulos

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

Sean los puntos del espacio

A(1, 2, -1)

B(3, 6, 1)

C(m, m, m - 2)

, donde

m

es un número real.

a) (0,75 puntos) Determina el valor de

m

para que los puntos

A

B

C

estén alineados.

b) (1,25 puntos) Para el valor de

m

obtenido en el apartado anterior, determina la distancia del punto

P(2, 0, 1)

a la recta que forman

A

B

C

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ m = 0,\quad C(0, 0, -2)}

\boxed{\text{b)}\ d(P, r) = \frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{318}}{6} \approx 2{,}97 \text{ u}}

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Estrategia

Tres puntos están alineados cuando los vectores

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

son proporcionales (tienen la misma dirección). Escribimos esa proporcionalidad e igualamos componentes: sale una ecuación en

m

.

En b) la recta pasa por

A

con vector director

\overrightarrow{AB}

. La distancia de un punto a una recta se calcula con el producto vectorial: el módulo de

\overrightarrow{AP}\times\vec{u}

es el área del paralelogramo de lados

\overrightarrow{AP}

\vec{u}

, y dividiendo entre la base

|\vec{u}|

queda la altura, que es la distancia.

Desarrollo

a) Calculamos los dos vectores:

\overrightarrow{AB} = (3 - 1,\ 6 - 2,\ 1 - (-1)) = (2, 4, 2), \qquad \overrightarrow{AC} = (m - 1,\ m - 2,\ m - 2 - (-1)) = (m - 1,\ m - 2,\ m - 1).

A

B

C

están alineados si

\overrightarrow{AC} = \lambda\,\overrightarrow{AB}

para algún

\lambda

, es decir,

m - 1 = 2\lambda, \qquad m - 2 = 4\lambda, \qquad m - 1 = 2\lambda.

La primera y la tercera ecuación son la misma. De la primera,

\lambda = \dfrac{m - 1}{2}

, y sustituyendo en la segunda:

m - 2 = 4\cdot\frac{m - 1}{2} = 2m - 2 \;\Longrightarrow\; m = 0.

Con

m = 0

el punto es

C(0, 0, -2)

\overrightarrow{AC} = (-1, -2, -1) = -\dfrac{1}{2}\,(2, 4, 2) = -\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}

. ✓

(Equivalente:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \vec{0}

solo para

m = 0

.)

b) La recta

r

que pasa por

A

B

C

tiene como punto

A(1, 2, -1)

y como vector director

\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (1, 2, 1)

r:\ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}.

Desde el punto de la recta al punto exterior:

\overrightarrow{AP} = (2 - 1,\ 0 - 2,\ 1 - (-1)) = (1, -2, 2).

Producto vectorial:

\overrightarrow{AP}\times\vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 4)\,\vec{i} - (1 - 2)\,\vec{j} + (2 + 2)\,\vec{k} = (-6, 1, 4).

Módulos:

\left|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}\right| = \sqrt{36 + 1 + 16} = \sqrt{53}, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.

Por tanto,

d(P, r) = \frac{\left|\overrightarrow{AP}\times\vec{u}\right|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{53}{6}} = \frac{\sqrt{318}}{6} \approx 2{,}97 \text{ u}.

Comprobación con el punto más cercano. Un punto genérico de

r

X = (1 + t,\ 2 + 2t,\ -1 + t)

, y

\overrightarrow{XP} = (1 - t,\ -2 - 2t,\ 2 - t)

debe ser perpendicular a

\vec{u}

(1 - t) + 2(-2 - 2t) + (2 - t) = -1 - 6t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{6}.

Entonces

\overrightarrow{XP} = \left(\frac{7}{6}, -\frac{5}{3}, \frac{13}{6}\right)

|\overrightarrow{XP}|^2 = \frac{49 + 100 + 169}{36} = \frac{318}{36} = \frac{53}{6}

, que es lo mismo. ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para ver si tres puntos están alineados compara $\overrightarrow{AB}$ con $\overrightarrow{AC}$ , no las coordenadas de los puntos: $C(m, m, m - 2)$ no tiene por qué ser proporcional a $A$ ni a $B$ .

En b), la fórmula es el módulo del producto vectorial dividido entre el módulo del director. Puedes simplificar $\overrightarrow{AB}$ a $(1, 2, 1)$ , pero usa el mismo vector arriba y abajo.