Matemáticas IIMedioProblema · 2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Castilla-La Mancha · 2026 · Julio

Enunciado

En la toma de un antibiótico vía oral, la concentración en sangre (mg/l) tras su administración se puede modelizar como la función

C(t) = \frac{12t}{t^2 + 4},

donde

t

es el tiempo transcurrido, en horas, desde la toma.

a) (1 punto) Determina el momento en el que la concentración en sangre es máxima.

b) (1 punto) La concentración media de dicho medicamento en el intervalo de tiempo

[a, b]

viene dada por la expresión

\dfrac{1}{b-a}\cdot\displaystyle\int_a^b C(t)\,dt

. Calcula la concentración media entre las

0

6

horas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ t = 2 \text{ h},\quad C(2) = 3 \text{ mg/l}}

\boxed{\text{b)}\ \overline{C} = \frac{1}{6}\int_0^6 \frac{12t}{t^2+4}\,dt = \ln 10 \approx 2{,}30 \text{ mg/l}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como

t

es un tiempo, solo nos interesa

t \geq 0

. En a) buscamos el máximo de

C

: derivamos con la regla del cociente, igualamos a cero y, con el signo de

C'

, comprobamos que la concentración sube antes y baja después. Así vemos que el máximo relativo es también el máximo absoluto en

[0, +\infty)

.

En b) solo hay que aplicar la fórmula que da el enunciado. La integral es casi inmediata: en el numerador está, salvo una constante, la derivada del denominador, así que la primitiva es un logaritmo.

Desarrollo

a) El denominador

t^2 + 4

nunca se anula, así que

C

es derivable en todo

[0, +\infty)

. Por la regla del cociente:

C'(t) = \frac{12\,(t^2 + 4) - 12t\cdot 2t}{(t^2 + 4)^2} = \frac{12t^2 + 48 - 24t^2}{(t^2 + 4)^2} = \frac{48 - 12t^2}{(t^2 + 4)^2} = \frac{12\,(4 - t^2)}{(t^2 + 4)^2}.

C'(t) = 0 \iff 4 - t^2 = 0 \iff t = \pm 2.

Solo vale

t = 2

, porque el tiempo no es negativo. El denominador es siempre positivo, así que el signo de

C'

es el de

4 - t^2

	$0 < t < 2$	$t = 2$	$t > 2$
$C'(t)$	$+$	$0$	$-$
$C(t)$	crece	máximo	decrece

La concentración crece hasta

t = 2

y decrece a partir de ahí, así que en

t = 2

hay un máximo, y es el máximo absoluto para

t \geq 0

. Su valor es

C(2) = \frac{12\cdot 2}{2^2 + 4} = \frac{24}{8} = 3 \text{ mg/l}.

La concentración es máxima a las 2 horas de la toma, con

3

mg/l.

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b) Con

a = 0

b = 6

, la concentración media es

\overline{C} = \frac{1}{6 - 0}\int_0^6 \frac{12t}{t^2 + 4}\,dt.

Como

(t^2 + 4)' = 2t

, escribimos

12t = 6\cdot 2t

y la integral es inmediata de tipo logaritmo:

\int \frac{12t}{t^2 + 4}\,dt = 6\int \frac{2t}{t^2 + 4}\,dt = 6\ln\left(t^2 + 4\right) + K.

(No hace falta valor absoluto:

t^2 + 4 > 0

.) Por la regla de Barrow:

\int_0^6 \frac{12t}{t^2 + 4}\,dt = 6\ln(36 + 4) - 6\ln 4 = 6\ln\frac{40}{4} = 6\ln 10.

Por tanto,

\overline{C} = \frac{1}{6}\cdot 6\ln 10 = \ln 10 \approx 2{,}30 \text{ mg/l}.

Tiene sentido: es menor que el máximo (

3

mg/l) y la concentración parte de

0

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Consejo

En a) no basta con decir « $C'(2) = 0$ »: hay que justificar que es un máximo (signo de la derivada o $C''(2) < 0$ ) y descartar $t = -2$ porque el tiempo no es negativo.

En b) no te olvides del factor $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{6}$ : la integral sola ( $6\ln 10$ ) no es la concentración media. Y da el resultado con sus unidades, mg/l.