Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Empezamos encontrando los vectores $\overrightarrow{PQ} = (2, -2, 1)$ y $\overrightarrow{PR} = (0, 1, 2)$. El vector normal al plano buscado es$$\vec{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -4i + 2k - i - 4j = (-5, -4, 2).$$Así pues, el plano buscado tiene una ecuación de la forma $5x + 4y - 2z + D = 0$. Sustituyendo las coordenadas del punto $R$ en la ecuación anterior deducimos $D = -7$ y, por tanto, la ecuación buscada es$$\pi\!: \; 5x + 4y - 2z - 7 = 0.$$b)

y pensamos el triángulo $\Delta PQR$ con base $PQ$, que mide$$d(P, Q) = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-0)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{9} = 3.$$Por otra parte, la recta $\overline{PQ}$ tiene ecuación$$(x, y, z) = (1, 0, -1) + \lambda(2, -2, 1) = (1 + 2\lambda, -2\lambda, -1 + \lambda),$$y vector director $(2, -2, 1)$. Por tanto, el plano perpendicular que pasa por $R$ tiene una ecuación de la forma $2x - 2y + z + D = 0$, con $2 - 2 + 1 + D = 0 \longrightarrow D = -1$. Y la proyección de $R$ sobre la recta $\overline{PQ}$ será la intersección del plano $2x - 2y + z - 1 = 0$ con la recta $\overline{PQ}$, es decir$$2(1 + 2\lambda) - 2(-2\lambda) + (-1 + \lambda) - 1 = 0 \;\longrightarrow\; 9\lambda = 0 \;\longrightarrow\; \lambda = 0,$$es el punto $(1, 0, -1)$ (es casualidad que sea $P$; esto quiere decir que el ángulo $\widehat{RPQ}$ es recto). Así, el área del triángulo $\Delta PQR$ es$$\text{Área}(PQR) = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{d(P, Q) \cdot d(P, R)}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1+1)^2}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}\ u^2.$$Alternativamente, también podemos calcular el área más rápidamente, aprovechando el producto vectorial del apartado anterior y la fórmula$$\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{1}{2}\sqrt{45} = \frac{3}{2}\sqrt{5}\ u^2.$$c)

El volumen del tetraedro determinado por los puntos $P, Q, R, S$ es$$\text{Volumen}(PQRS) = \frac{\text{Área}(PQR) \cdot \text{altura}}{3} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot d(S, \pi)}{3}.$$Como la distancia del punto $S = (x, y, z)$ al plano $\pi\!: 5x + 4y - 2z - 7 = 0$ es$$d(S, \pi) = \frac{|5x + 4y - 2z - 7|}{\sqrt{5^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \frac{|5x + 4y - 2z - 7|}{\sqrt{45}},$$el lugar geométrico de los puntos $S$ tales que el tetraedro formado por $P, Q, R, S$ tenga volumen 1 viene dado por$$\frac{\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \cdot \dfrac{|5x + 4y - 2z - 7|}{3\sqrt{5}}}{3} = 1,$$$$5x + 4y - 2z - 7 = \pm 6,$$es decir, son dos planos paralelos al plano $\pi$, de ecuaciones$$5x + 4y - 2z - 1 = 0, \qquad \text{y} \qquad 5x + 4y - 2z - 13 = 0.$$Criterios de corrección:

a)

0,75 p. por el cálculo de la ecuación correcta del plano.

b)

0,5 p. por el cálculo de la base y la altura del triángulo.

0,25 p. por el área.

c)

0,5 p. por el planteamiento y el desarrollo del problema.

0,25 p. por tratar correctamente el valor absoluto.

0,25 p. por las ecuaciones de los dos planos finales.