Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Llamamos $x$ a la longitud en metros del primer trozo de barandilla, con el que se hará el cercado circular; con el otro trozo, de $10 - x$ metros de longitud, se hará el cercado cuadrado. Como $x$ ha de ser el perímetro de una circunferencia, su radio será $r = \dfrac{x}{2\pi}$, y el área de este espacio circular delimitado valdrá $A_1 = \pi\left(\dfrac{x}{2\pi}\right)^2$. Por otra parte, como $10 - x$ es el perímetro de un cuadrado, su lado será $c = \dfrac{10 - x}{4}$ y el área de este espacio cuadrado valdrá $A_2 = \left(\dfrac{10 - x}{4}\right)^2$. Así, la función que hay que minimizar es$$A(x) = \pi\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{10 - x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{100 - 20x + x^2}{16} = \frac{(4 + \pi)x^2 - 20\pi x + 100\pi}{16\pi}.$$Derivamos y buscamos los puntos críticos$$A'(x) = \frac{(8 + 2\pi)x - 20\pi}{16\pi} = 0 \;\longrightarrow\; x = \frac{20\pi}{8 + 2\pi} \simeq 4{,}4\ m.$$Para asegurar que se trata de un mínimo, podemos hacer la segunda derivada y comprobar que es positiva:$$A''(x) = \frac{8 + 2\pi}{16\pi} > 0.$$Así pues, para minimizar la superficie total de los dos espacios, el arquitecto de este pueblo tendrá que hacer un cercado circular con $4{,}4\ m$ de barandilla y un cercado cuadrado con los $5{,}6\ m$ restantes. La superficie total de los dos cercados será de$$A(4{,}4) = \frac{(4 + \pi) \cdot 4{,}4^2 - 20\pi \cdot 4{,}4 + 100\pi}{16\pi} \simeq 3{,}5\ m^2.$$Criterios de corrección:

0,25 p. por plantear el perímetro de la circunferencia.

0,25 p. por el perímetro del cuadrado.

0,5 p. por la expresión del área total en función de una sola variable.

0,5 p. por la derivada y la obtención del punto crítico.

0,5 p. por comprobar que se trata de un mínimo.

0,5 p. por la respuesta final, incluyendo las dos longitudes y el valor del área mínima.