Probabilidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Calculamos primero la probabilidad de que un seguidor del grupo consiga comprar una entrada en la web. Consideramos los sucesos:

$ES$ = «Obtener entrada en el sorteo»,

$W$ = «Intentar comprarla en la web»,

$EW$ = «Conseguir entrada en la web».

A partir de los datos del enunciado, tenemos que$$P(ES) = 0{,}16,$$$$P(W) = (1 - 0{,}16) \cdot 6/7 = 0{,}72,$$$$P(EW) = P(W) \cdot 0{,}25 = 0{,}18.$$Por tanto, en total el $16 + 18 = 34$ por ciento de los seguidores de este grupo en el municipio consiguen entrada para el concierto. Si el 16 % de los seguidores corresponde a 24 personas, el 34 % corresponderá a:$$\frac{24}{16} = \frac{x}{34} \;\Rightarrow\; \frac{3}{2} = \frac{x}{34} \;\Rightarrow\; x = 17 \cdot 3 = 51 \text{ personas.}$$b)

Sea $noE$ el suceso «No tener entrada para el concierto». Nos piden $P(W \mid noE)$. Por la ley de Bayes,$$P(W \mid noE) = \frac{P(noE \mid W)\,P(W)}{P(noE)}.$$Del apartado anterior sabemos que la probabilidad de tener entrada es del 34 %, por tanto $P(noE) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66$. Sabemos también que $P(W) = 0{,}72$ y $P(noE \mid W) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$. Por tanto,$$P(W \mid noE) = \frac{0{,}75 \cdot 0{,}72}{0{,}66} \approx 0{,}82.$$c)

Tenemos la función polinómica $S(t) = -t^3 + 12t^2 - 30t + 90$ en el intervalo $t \in [0, 5]$; obviamente es continua, por ser polinómica. El enunciado nos pregunta si en algún momento $S(t)$ valdrá 100, es decir,$$-t^3 + 12t^2 - 30t + 90 = 100.$$Si consideramos la nueva función $D(t) = S(t) - 100$, el problema se transforma en saber si $D(t) = 0$ en algún momento $t \in [0, 5]$. Como $D$ también es continua, y tenemos que$$D(0) = -10 < 0 \quad \text{y} \quad D(5) = 15 > 0,$$se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano y, por tanto, se puede afirmar que existe un punto $c \in (0, 5)$ tal que $D(c) = 0$. Aproximémoslo con una décima de precisión:$$D(2) = -30 < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in (2, 5) \text{ tal que } D(c) = 0,$$$$D(4) = -2 < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in (4, 5) \text{ tal que } D(c) = 0,$$$$D(4{,}5) = 6{,}85 > 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in (4;\ 4{,}5) \text{ tal que } D(c) = 0,$$$$D(4{,}2) = 1{,}592 > 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in (4;\ 4{,}2) \text{ tal que } D(c) = 0,$$$$D(4{,}1) = -0{,}201 < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in (4{,}1;\ 4{,}2) \text{ tal que } D(c) = 0.$$Así pues, las luces de la sala se activarán aproximadamente al cabo de 4,1 minutos de haber empezado a sonar la canción más famosa del grupo.

Criterios de corrección:

a)

0,5 p. por calcular el porcentaje de seguidores que obtienen entrada.

0,25 p. por el número de personas que esto representa.

b)

0,25 p. por el planteamiento del problema.

0,5 p. por el cálculo de la probabilidad pedida.

c)

0,25 p. por el planteamiento del problema y por comentar la continuidad de la función.

0,5 p. por la primera aplicación del teorema de Bolzano correctamente razonada.

0,25 p. por la aproximación hasta una décima.