Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son:$$A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \bar{A} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ m & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$Calculando el determinante de la matriz $A$, tenemos$$\begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 + m^2 + 1 - 3m - 1 - m = m^2 - 4m + 3.$$Para obtener los valores críticos, hacemos$$|A| = 0 \iff m^2 - 4m + 3 = 0 \iff m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = 3,\ 1.$$En el caso $m \neq 1, 3$, tenemos $|A| \neq 0$, $\text{rango}(A) = \text{rango}(\bar{A}) = 3$ y, como hay tres incógnitas, el sistema es compatible determinado.

En el caso $m = 3$, tenemos $|A| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$, por tanto $\text{rango}(A) = 2$. Por otra parte,$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 8 \neq 0$$y deducimos que $\text{rango}(\bar{A}) = 3$ y que el sistema es incompatible en este caso.

Finalmente, en el caso $m = 1$, tenemos $|A| = 0$, $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$, $\text{rango}(A) = 2$, y también $\text{rango}(\bar{A}) = 2$ por tener la primera y la tercera filas iguales. En este caso, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

b)

Se trata de tres planos del espacio, que están en diversas posiciones relativas según el valor del parámetro: de acuerdo con la discusión del apartado anterior, si $m \neq 1, 3$, el sistema es compatible determinado, lo que significa que los tres planos se cortan en un único punto común. Si $m = 3$ es incompatible, lo que quiere decir que no tienen ningún punto en común: esto se puede ver directamente observando que, en este caso, el primer plano, $x + 3y + z = 4$, y el segundo, $x + 3y + z = 5$, son paralelos y no coincidentes. Finalmente, si $m = 1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad y los tres planos se cortan en una recta común. Para encontrar su ecuación hay que resolver el sistema en este caso:$$\left.\begin{aligned} x + y + z &= 4 \\ x + 3y + z &= 5 \\ x + y + z &= 4 \end{aligned}\right\} \underset{F1=F3}{\iff} \left.\begin{aligned} x + y + z &= 4 \\ x + 3y + z &= 5 \end{aligned}\right\} \underset{z=\lambda}{\Longrightarrow} \left.\begin{aligned} x + y &= 4 - \lambda \\ x + 3y &= 5 - \lambda \end{aligned}\right\},$$$$x = \frac{\begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 5-\lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}} = \frac{12 - 3\lambda - 5 + \lambda}{2} = \frac{7 - 2\lambda}{2},$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 4-\lambda \\ 1 & 5-\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}} = \frac{5 - \lambda - 4 + \lambda}{2} = \frac{1}{2}.$$La solución del sistema son todos los puntos de la forma $\left(\dfrac{7-2\lambda}{2}, \dfrac{1}{2}, \lambda\right)$ para $\lambda \in \mathbb{R}$. Es decir, la intersección de los tres planos, en este caso, consiste en la recta de ecuación $(x, y, z) = \left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right) + \lambda(-1, 0, 1)$.

c)

Para $m = 1$, el sistema tiene infinitas soluciones, una de las cuales es $(x, y, z) = \left(3, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$, precisamente la que corresponde a $\lambda = \dfrac{1}{2}$. Por tanto, cualquier nueva ecuación que también tenga este punto como solución, por ejemplo $x = 3$, y que dé una matriz de coeficientes total de rango 3, convertirá el sistema en compatible determinado con el punto deseado como única solución; la ecuación propuesta lo cumple:$$\text{rango}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \text{rango}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 3.$$Criterios de corrección:

a)

0,25 p. por calcular el determinante y encontrar los dos valores críticos.

0,25 p. por la discusión de cada uno de los tres casos.

b)

0,25 p. por cada una de las tres interpretaciones geométricas.

0,25 p. por la resolución del sistema en el caso $m = 1$.

c)

0,5 p. por dar la ecuación pedida y razonar que es válida.