Áreas, volúmenes y distancias

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Esta pauta no reparte la puntuación por pasos: cada apartado vale lo que indica el enunciado.

a) Podemos encontrar el cuarto vértice de la tapa, $D$, de varias maneras. Por ejemplo:$$D = B + \overrightarrow{AC} = (4, 1, 5) + (0, 9, 0) = (4, 10, 5).$$La tapa es un rectángulo. El largo será la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$:$$d(A, B) = \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = 5\ \text{u}.$$Y el ancho será la distancia entre el punto $A$ y el punto $C$:$$d(A, C) = \left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 0^2} = 9\ \text{u}.$$Aina ha hecho el croquis de una caja rectangular con dos lados de 5 y 9 unidades, respectivamente.

b) Sabemos que el plano inferior $\pi$, paralelo al plano de la tapa, tiene por ecuación $-4x + 3z = 24$. Por tanto, la altura de la caja es la distancia de cualquiera de los puntos de la tapa, por ejemplo el punto $A$, al plano $\pi$$$d(A, \pi) = \frac{|-4\cdot 1 + 0\cdot 1 + 3\cdot 1 - 24|}{\sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|-25|}{5} = 5\ \text{u}.$$Por tanto, la caja mide 5 unidades de altura. Para calcular el vértice debajo del punto $A$, solo tenemos que proyectar $A$ perpendicularmente sobre el plano $\pi$: la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $A$ es$$(x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda(-4, 0, 3).$$Por tanto, la proyección $A'$ del punto $A$ sobre el plano $\pi$ será la intersección de esta recta con el plano $\pi$:$$-4(1 - 4\lambda) + 3(1 + 3\lambda) = 24 \;\to\; 25\lambda - 1 = 24 \;\to\; \lambda = 1.$$Se trata, pues, del punto $A' = (1, 1, 1) + (-4, 0, 3) = (-3, 1, 4)$.