Probabilidad

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Esta pauta no reparte la puntuación por pasos: cada apartado vale lo que indica el enunciado.

a) Llamaremos $X$ al número de aerogeneradores en funcionamiento. Para llegar a los $1\,000\ \text{MW}$, tienen que funcionar necesariamente los 10 aerogeneradores. Como cada uno funciona, independientemente de los otros, con probabilidad $1 - 0{,}1 = 0{,}9$, la probabilidad de que esto pase es$$P = 0{,}9\cdot 0{,}9\cdot\,\cdots\,\cdot 0{,}9 = 0{,}9^{10} = 0{,}3486\ldots$$También podemos argumentar que el número de generadores en funcionamiento sigue una distribución binomial $X \sim B(n = 10,\ p = 0{,}9)$ y llegamos al mismo resultado.

b) Para superar los $150\ \text{MW}$, el número de aerogeneradores funcionando $X$ tiene que ser al menos $X \geq 2$. Esto es lo contrario de que funcione solo uno o ninguno y, por tanto, la probabilidad es$$\begin{aligned} P(X \geq 2) &= 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}1^{10} - 10\cdot(0{,}1)^9\cdot(1 - 0{,}1) \\ &= 1 - 0{,}0000000091 = 0{,}9999999909. \end{aligned}$$Para calcular $P(X = 1)$ podemos, o bien argumentar con la binomial, o bien razonar directamente que tenemos que escoger uno de los diez generadores e imponer que este funcione y que los otros nueve estén parados.

c) Para calcular el área de una pala, primero encontramos los puntos de corte entre las dos curvas:$$2x^3 = 8x \;\Longrightarrow\; 2x^3 - 8x = 0 \;\Longrightarrow\; x(2x^2 - 8) = 0.$$Obtenemos las tres soluciones $x = -2,\ 0,\ 2$. Para calcular el área, tenemos que hacer las dos integrales siguientes (o comprobar que las funciones son antisimétricas y hacer solo una integral):$$\int_{-2}^{0} (2x^3 - 8x)\,dx + \int_{0}^{2} (8x - 2x^3)\,dx = \left[\frac{x^4}{2} - 4x^2\right]_{-2}^{0} + \left[4x^2 - \frac{x^4}{2}\right]_{0}^{2} =$$$$= 0 - \frac{(-2)^4}{2} + 4(-2)^2 + 4\cdot 2^2 - \frac{2^4}{2} - 0 = 16\ \text{m}^2.$$Por tanto, el área de cada pala es de 16 metros cuadrados.