Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Esta pauta no reparte la puntuación por pasos: cada apartado vale lo que indica el enunciado.

a) Consideramos la matriz de coeficientes, $A$, y la matriz ampliada del sistema, $A^*$,$$A = \begin{pmatrix} 2 & k & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & k & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$Calculando el determinante de la matriz $A$, tenemos$$|A| = 4 - 1 + 2k - 2 - 4 + k = 3k - 3,$$$$|A| = 0 \Leftrightarrow 3k - 3 = 0 \Leftrightarrow k = 1.$$Por tanto, si $k \neq 1$, $\text{rango}(A) = 3$ y $\text{rango}(A^*) = 3$ y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado porque tiene 3 incógnitas.

Por otra parte, si $k = 1$, $|A| = 0$ y, como $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$, deducimos que $\text{rango}(A) = 2$. Para estudiar el rango de la matriz $A^*$ vemos que$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 3 + 1 - 6 - 2 + 2 = 0$$y, por el método de orlar, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < \text{número de incógnitas}$, el teorema de Rouché-Frobenius nos asegura que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

b) En el apartado anterior hemos visto que para $k \neq 1$ el sistema es compatible determinado; es decir, que tiene una solución única (que, en principio, depende de $k$). Para resolverlo, utilizamos el método de Cramer:$$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 3 & k & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{3k - 3} = \frac{6 + 1 + 4k - 4 - 6 - k}{3k - 3} = \frac{3k - 3}{3k - 3} = 1,$$$$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}}{3k - 3} = \frac{2 - 2 + 6 - 1 - 8 + 3}{3k - 3} = 0.$$Para calcular $z$ podemos continuar con Cramer o utilizar una de las ecuaciones:$$z = 2 - x - y = 2 - 1 - 0 = 1.$$Por tanto, la solución del sistema para $k \neq 1$ es el punto $(x, y, z) = (1, 0, 1)$. Efectivamente, tal como indica el enunciado, este punto solución NO depende del valor de $k$.

c) Geométricamente, cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano en el espacio. Los planos que corresponden a la segunda y tercera ecuaciones están fijos y se cortan en una recta $r$ (son ecuaciones independientes). En cambio, el primer plano varía en función del valor de $k$. Cuando $k = 1$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, lo que significa que los tres planos se cortan en una recta; forzosamente, tiene que ser la recta $r$, que estará, por tanto, contenida también en el primer plano. En cambio, cuando $k \neq 1$, el sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan solo en un único punto, que es $(1, 0, 1)$; como este punto no depende de $k$, el primer plano varía en función de $k$, pero conteniendo siempre el punto $(1, 0, 1)$ —que también tiene que estar en la recta $r$, ya que $(1, 0, 1)$ también es solución del sistema para $k = 1$.