Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Esta pauta no reparte la puntuación por pasos: cada apartado vale lo que indica el enunciado.

a) El dominio de esta función son todos los números reales, ya que el denominador no se anula nunca. La derivada es$$f'(x) = \frac{5(x^2+1) - 5x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-5x^2+5}{(x^2+1)^2}.$$Los candidatos a máximo y mínimo de esta función son los ceros de la derivada:$$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -5x^2 + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$$Por tanto, los únicos posibles máximos o mínimos son estos dos puntos. Ahora estudiamos la monotonía de la función, mirando el signo de la derivada: el denominador es siempre positivo y el numerador, $-5x^2+5$, es negativo en $(-\infty, -1)$ y en $(1, +\infty)$, mientras que es positivo en $(-1, 1)$. Por tanto, $f'(x) < 0$ y la función $f$ es decreciente en $(-\infty, -1)$ y en $(1, +\infty)$, mientras que $f'(x) > 0$ y la función $f$ es creciente en el intervalo $(-1, 1)$. Por tanto, la función tiene un máximo en $x = 1$ y un mínimo en $x = -1$.

b) La función no tendrá asíntotas verticales porque el denominador nunca se anula. Sí que tiene asíntotas horizontales, ya que $f(x) \to 0$ cuando $x \to \pm\infty$:$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{5x}{x^2+1} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{5/x}{1 + 1/x^2} = \frac{0}{1+0} = 0.$$Alternativamente, también se puede argumentar por la regla de L'Hôpital:$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{5x}{x^2+1} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{5}{2x} = \frac{5}{\pm\infty} = 0.$$Con la información que tenemos podemos hacer un esbozo de la gráfica de la función $f$:

c) Como $f(2) = \dfrac{5\cdot 2}{2^2+1} = \dfrac{10}{5} = 2$, se trata del punto $(2, 2)$. La pendiente en este punto es $f'(2) = \dfrac{-5\cdot 2^2 + 5}{(2^2+1)^2} = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5}$; por tanto, la recta normal, que es perpendicular a la tangente, tendrá pendiente $\dfrac{5}{3}$ y es$$y - 2 = \frac{5}{3}(x - 2) \;\longrightarrow\; y = \frac{5}{3}x - \frac{4}{3}.$$