Determinantes

a) Con la notación de las filas:$$D = \left|\begin{array}{ccc} -3 & -4 & -\alpha \\ \alpha - 2 & \beta - \alpha & 1 - \beta \\ 8 & 4\alpha & 4\beta \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} -F_3 \\ F_1 - F_2 \\ 4F_2 \end{array}\right|$$Paso 1: sacar los factores. Un factor común de una fila sale multiplicando al determinante: el $-1$ de la primera fila y el $4$ de la tercera.$$D = (-1)\cdot 4\cdot\left|\begin{array}{c} F_3 \\ F_1 - F_2 \\ F_2 \end{array}\right|$$Paso 2: quitar el $-F_2$. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia. Sumando la tercera fila a la segunda:$$\left|\begin{array}{c} F_3 \\ F_1 - F_2 \\ F_2 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} F_3 \\ F_1 \\ F_2 \end{array}\right|$$Paso 3: ordenar las filas. Cada intercambio de dos filas cambia el signo. Para pasar de $(F_3, F_1, F_2)$ a $(F_1, F_2, F_3)$ hacen falta dos intercambios (primera con segunda: $(F_1, F_3, F_2)$; segunda con tercera: $(F_1, F_2, F_3)$), así que el signo no cambia:$$\left|\begin{array}{c} F_3 \\ F_1 \\ F_2 \end{array}\right| = (-1)^2\left|\begin{array}{c} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{array}\right| = |A| = -2$$Resultado:$$D = -4\cdot(-2) = 8$$Comprobación con números. Los valores $\alpha = \beta = 2$ cumplen la condición: $|A| = 2(4 - 8) - 2(4 - 6) + 1(8 - 6) = -8 + 4 + 2 = -2$. Con ellos el determinante pedido es$$\left|\begin{array}{ccc} -3 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 8 & 8 & 8 \end{array}\right| = -(-1)\left|\begin{array}{cc} -3 & -4 \\ 8 & 8 \end{array}\right| = -24 + 32 = 8 \ \checkmark$$(desarrollado por la segunda fila, cuyo único término no nulo está en la posición $(2,3)$, de signo $-$).

b) Como $|A| = -2 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa y $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$. Además $|A^t| = |A|$ y el determinante de un producto es el producto de los determinantes:$$\left|A^{-1}\,(A^t)^2\,A\right| = |A^{-1}|\cdot|A^t|^2\cdot|A| = \frac{1}{|A|}\cdot|A|^2\cdot|A| = |A|^2 = (-2)^2 = 4$$