Determinantes

a) Restando $\lambda$ en la diagonal:$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 0 \\ 2 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$Desarrollamos por la tercera columna, en la que solo el último elemento no es nulo:$$P(\lambda) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 & 0 \\ 2 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)\begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)\bigl[(4-\lambda)(3-\lambda) - 2\bigr]$$$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$$Luego$$P(\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 10) = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 24\lambda + 20$$Raíces. $2 - \lambda = 0$ da $\lambda = 2$. Y$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda = 5 \ \text{ o } \ \lambda = 2$$Así que $P(\lambda) = -(\lambda - 2)^2(\lambda - 5)$: las raíces reales son $\lambda = 2$ (doble) y $\lambda = 5$ (simple).

Comprobación: $P(0) = \det A = 20$, y en efecto $\det A = 2\,(4\cdot 3 - 1\cdot 2) = 20$ ✓.

b) Para $\lambda = 5$:$$A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}, \qquad \left\{\begin{array}{l} -x + y = 0 \\ 2x - 2y = 0 \\ 3x + 2y - 3z = 0 \end{array}\right.$$Como $\det(A - 5I) = P(5) = 0$, el sistema homogéneo es compatible indeterminado. La segunda ecuación es la primera multiplicada por $-2$, y el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$ (filas 1 y 3, columnas 1 y 2) dice que el rango es $2$: hay un parámetro libre.

De la primera, $y = x$. En la tercera, $3x + 2x - 3z = 0$, es decir, $z = \dfrac{5x}{3}$. Con $x = t$:$$(x,\ y,\ z) = \left(t,\ t,\ \tfrac{5}{3}t\right), \quad t \in \mathbb{R}$$Para un vector no nulo con coordenadas enteras tomamos $t = 3$: $\vec{v} = (3,\ 3,\ 5)$. Cualquier múltiplo no nulo de él también vale.

Comprobación:$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 3 \\ 6 - 6 \\ 9 + 6 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$En la simulación, el parámetro $a$ hace de $\lambda$: el determinante sale como polinomio en $a$, con sus raíces y el rango de $A - aI$ en cada una.