Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1-a & 2 \\ 0 & 4 & 3-a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & a^2 \\ 0 & 1-a & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3-a & a-5 \end{array}\right)$$a) Desarrollando $|A|$ por la primera columna:$$|A| = 3\left|\begin{array}{cc} 1-a & 2 \\ 4 & 3-a \end{array}\right| = 3\bigl[(1-a)(3-a) - 8\bigr] = 3\,(a^2 - 4a + 3 - 8) = 3\,(a^2 - 4a - 5)$$$$|A| = 0 \iff a^2 - 4a - 5 = 0 \iff a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \iff a = 5 \ \text{o}\ a = -1$$Es decir, $|A| = 3\,(a-5)(a+1)$.

Caso $a \neq 5$ y $a \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 5$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & 25 \\ 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -2 & 0 \end{array}\right)$$El menor $\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 0 & -4 \end{array}\right| = -12 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, la tercera fila es la segunda cambiada de signo (incluido el término independiente, $0 = -0$), luego no aporta nada y $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones con un parámetro). Por ejemplo, $y = \lambda$, $z = 2\lambda$, $x = \frac{25 + \lambda}{3}$.

Caso $a = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & -6 \end{array}\right)$$$\operatorname{rg}(A) = 2$, porque $\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right| = 6 \neq 0$. Orlando con la columna de los términos independientes:$$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -6 \end{array}\right| = 3\,\bigl(2\cdot(-6) - 0\cdot 4\bigr) = -36 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a ojo: la segunda ecuación dice $y + z = 0$ y la tercera, $y + z = -\frac{3}{2}$.

b) Para $a = 0$ el sistema es compatible determinado ($a \neq 5, -1$) y $|A| = 3\,(0 - 0 - 5) = -15$:$$\begin{cases} 3x - y = 0 \\ y + 2z = 0 \\ 4y + 3z = -5 \end{cases}$$Por Cramer:$$x = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -5 & 4 & 3 \end{array}\right|}{-15} = \frac{10}{-15} = -\frac{2}{3}, \qquad y = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -5 & 3 \end{array}\right|}{-15} = \frac{30}{-15} = -2$$$$z = \frac{\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & -5 \end{array}\right|}{-15} = \frac{-15}{-15} = 1$$(Por sustitución es igual de rápido: de la segunda, $y = -2z$; en la tercera, $-8z + 3z = -5$, $z = 1$; luego $y = -2$ y $x = \frac{y}{3} = -\frac{2}{3}$.)

Comprobación. $3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) - (-2) = 0$ ✓; $-2 + 2\cdot 1 = 0$ ✓; $4\cdot(-2) + 3\cdot 1 = -5$ ✓.