Optimización

Planteamiento. Colocamos el ángulo recto en el origen, el cateto de $56$ m sobre el eje $X$ y el de $42$ m sobre el eje $Y$. La hipotenusa une $(56, 0)$ con $(0, 42)$:$$\frac{x}{56} + \frac{y}{42} = 1$$Sean $x$ (paralelo al cateto de $56$ m) e $y$ (paralelo al de $42$ m) las dimensiones del rectángulo techado. Como el vértice $(x, y)$ está en la hipotenusa,$$y = 42\left(1 - \frac{x}{56}\right) = 42 - \frac{3x}{4}, \qquad 0 < x < 56.$$Función coste. El área del jardín es $\dfrac{42\cdot 56}{2} = 1176$ m². La parte techada mide $xy$ y la no techada, $1176 - xy$. El coste, en euros, es$$C = 30\,xy + 50\,(1176 - xy) = 58800 - 20\,xy.$$Sustituyendo $y$:$$C(x) = 58800 - 20x\left(42 - \frac{3x}{4}\right) = 15x^2 - 840x + 58800, \qquad x \in (0, 56).$$Derivada.$$C'(x) = 30x - 840 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 28.$$¿Es mínimo? $C''(x) = 30 > 0$, luego en $x = 28$ hay un mínimo relativo. Además, $C'(x) < 0$ si $0 < x < 28$ y $C'(x) > 0$ si $28 < x < 56$: la función decrece y luego crece, así que el mínimo es absoluto en el intervalo.

Dimensiones.$$x = 28 \text{ m}, \qquad y = 42 - \frac{3\cdot 28}{4} = 42 - 21 = 21 \text{ m}.$$Comprobaciones. El vértice $(28, 21)$ está en la hipotenusa: $\dfrac{28}{56} + \dfrac{21}{42} = \dfrac12 + \dfrac12 = 1$. ✓ El rectángulo mide $28\cdot 21 = 588$ m² (justo la mitad del jardín) y el coste mínimo es $C(28) = 58800 - 20\cdot 588 = 47040$ euros. En los extremos del intervalo (rectángulo degenerado) el coste sería $58800$ euros, mayor. ✓