Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

También trata: Integrales · Límites y continuidad

Enunciado

Dada la función real de variable real

f(x) = \frac{4}{(x-1)^2} + x,

se pide:

a) Calcular el dominio de definición y las asíntotas de

f

. (0,5 puntos)

b) Indicar, si existen, los extremos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

. (0,75 puntos)

c) Representar gráficamente la función

y = f(x)

. (0,5 puntos)

d) Calcular la integral indefinida

\displaystyle\int f(x)\,dx

. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{1\}

; asíntota vertical

x = 1

y asíntota oblicua

y = x

; no hay horizontal.

b) Crece en

(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)

y decrece en

(1, 3)

; mínimo relativo en

(3, 4)

; no hay máximos.

c) Gráfica con las asíntotas anteriores, corte con los ejes en

(-1, 0)

(0, 4)

y mínimo en

(3, 4)

.

d)

\displaystyle\int f(x)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{4}{x - 1} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función es la recta

y = x

más un sumando,

\frac{4}{(x-1)^2}

, que es siempre positivo, explota cerca de

x = 1

y se apaga en el infinito. Eso ya anuncia casi todo:

una asíntota vertical en $x = 1$ (donde se anula el denominador), con la función subiendo a $+\infty$ por los dos lados;
una asíntota oblicua $y = x$ , porque lo que se añade a la recta tiende a 0, y la gráfica va siempre por encima de ella.

Para la monotonía, la derivada y su signo; para la gráfica, juntamos asíntotas, el mínimo y un par de puntos. La integral es inmediata: una potencia de

(x-1)

más la de

x

Desarrollo

a) Dominio. Solo falla donde se anula el denominador:

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Asíntota vertical. En

x = 1

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty

porque

(x - 1)^2 \to 0^+

por los dos lados. Así que

x = 1

es asíntota vertical.

Horizontal. No hay:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

.

Oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty}\left(\frac{4}{x(x-1)^2} + 1\right) = 1, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty}\big(f(x) - x\big) = \lim_{x \to \pm\infty}\frac{4}{(x-1)^2} = 0

La asíntota oblicua es

y = x

(en

+\infty

y en

-\infty

). Como

f(x) - x = \frac{4}{(x-1)^2} > 0

, la gráfica queda siempre por encima.

b) Derivada.

f'(x) = -\frac{8}{(x-1)^3} + 1 = \frac{(x-1)^3 - 8}{(x-1)^3}

Puntos críticos.

f'(x) = 0 \iff (x - 1)^3 = 8 \iff x - 1 = 2 \iff x = 3

.

Signo de $f'$ . Los puntos que separan intervalos son

x = 1

(fuera del dominio) y

x = 3

	$(-\infty, 1)$	$(1, 3)$	$(3, +\infty)$
$(x-1)^3 - 8$	$-$	$-$	$+$
$(x-1)^3$	$-$	$+$	$+$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	crece

Extremos. En

x = 3

la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en

(3, f(3))

, con

f(3) = \frac{4}{4} + 3 = 4

x = 1

no hay extremo porque la función no está definida. No hay máximos.

c) Puntos para la gráfica.

Corte con el eje $Y$ : $f(0) = 4 + 0 = 4$ , el punto $(0, 4)$ .
Corte con el eje $X$ : $\frac{4}{(x-1)^2} + x = 0 \iff x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ . Probando divisores de 4, $x = -1$ es raíz: $x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4)$ , y el segundo factor no tiene raíces reales (discriminante $9 - 16 < 0$ ). Único corte: $(-1, 0)$ .
Mínimo relativo en $(3, 4)$ .

Esbozo. Por la izquierda la gráfica viene pegada a la recta

y = x

, por encima de ella; corta al eje

X

x = -1

, pasa por

(0, 4)

y sube hacia

+\infty

al acercarse a

x = 1

. A la derecha de

x = 1

baja desde

+\infty

hasta el mínimo

(3, 4)

y después crece acercándose a

y = x

por encima.

Gráfica de f(x) = 4/(x−1)² + x entre x = −3 y x = 10: a la izquierda sube desde abajo, corta el eje X en x = −1 y el eje Y en 4, y se dispara hacia arriba junto a la asíntota vertical x = 1; a la derecha baja desde arriba hasta el mínimo (3, 4) y luego crece casi en línea recta, como la asíntota y = x

d) Integral. Partimos en dos sumandos y escribimos el primero como potencia:

\int f(x)\,dx = \int 4\,(x-1)^{-2}\,dx + \int x\,dx = 4\cdot\frac{(x-1)^{-1}}{-1} + \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{4}{x-1} + C

Comprobación. Derivando:

x + \frac{4}{(x-1)^2} = f(x)

✓.

Consejo

En la asíntota vertical, calcula los dos límites laterales: aquí los dos dan $+\infty$ , y eso es lo que te dice cómo dibujar la gráfica junto a $x = 1$ . En la tabla de signos incluye $x = 1$ aunque no sea del dominio: separa intervalos. Y en la integral, no olvides la constante $C$ ; una derivada de comprobación te asegura el apartado en medio minuto.