Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

a) Área de la base. Un triángulo equilátero de lado $x$ tiene altura $\frac{\sqrt{3}}{2}x$, así que su área es$$A_{\text{base}} = \frac{1}{2}\,x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,x = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2$$Área total. Dos bases y tres caras laterales rectangulares de $x \times h$:$$A(x, h) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 + 3xh = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2 + 3xh$$b) Relación entre las variables. De $A = 10$:$$\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2 + 3xh = 10 \;\Rightarrow\; h = \frac{10 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2}{3x}$$Para que $h > 0$ hace falta $\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 < 10$, así que $x \in \left(0, \sqrt{20/\sqrt{3}}\right) \approx (0;\ 3{,}398)$.

Función que hay que maximizar.$$V = A_{\text{base}}\cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2\cdot\frac{10 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2}{3x} = \frac{\sqrt{3}}{12}\,x\left(10 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2\right) = \frac{5\sqrt{3}}{6}\,x - \frac{1}{8}\,x^3$$Derivada.$$V'(x) = \frac{5\sqrt{3}}{6} - \frac{3}{8}\,x^2 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = \frac{5\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{8}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{9}$$$$x = \sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{9}} \approx 1{,}9619\ \text{cm}$$(La raíz negativa no tiene sentido.) Está dentro del intervalo $(0;\ 3{,}398)$.

Es un máximo. $V''(x) = -\frac{3}{4}\,x < 0$ para $x > 0$, así que el punto crítico es un máximo. Además es el único punto crítico en el intervalo y $V$ tiende a $0$ en los dos extremos, así que es el máximo absoluto.

Altura. Con $x^2 = \frac{20\sqrt{3}}{9}$, las dos bases suman $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{20\sqrt{3}}{9} = \frac{10}{3}$, y las caras laterales el resto, $3xh = \frac{20}{3}$:$$h = \frac{20}{9x} = \frac{x}{\sqrt{3}} \approx \frac{1{,}9619}{1{,}7321} \approx 1{,}1327\ \text{cm}$$c) Volumen máximo. Como $h = \frac{x}{\sqrt{3}}$:$$V = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2\cdot\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x^3}{4} \approx \frac{1{,}9619^3}{4} \approx 1{,}8878\ \text{cm}^3$$Comprobación. $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1{,}9619^2 + 3\cdot 1{,}9619\cdot 1{,}1327 \approx 3{,}333 + 6{,}667 = 10$ ✓.