Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

También trata: Vectores y ángulos
Comunitat Valenciana · 2025 · Junio (reserva)
Enunciado
Dada la recta r:x+12=y−23=zαr: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-2}{3} = \dfrac{z}{\alpha}, que depende del parámetro real α\alpha, y la rectas:{−x+y+z=1x+2y−z=2.s: \begin{cases} -x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}.a) Calcular el valor del parámetro α\alpha para el que rr y ss son perpendiculares. (1,25 puntos)

b) Suponiendo que α≠0\alpha \ne 0, obtener la recta paralela a ss que pase por el punto de rr cuya coordenada zz vale 0. (1,25 puntos)
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Resultado
a) u⃗=(2,3,α)\vec u = (2, 3, \alpha), v⃗=(1,0,1)\vec v = (1, 0, 1): son perpendiculares si 2+α=02 + \alpha = 0, es decir, α=−2\alpha = -2.

b) Por P=(−1,2,0)P = (-1, 2, 0) con dirección (1,0,1)(1, 0, 1): x=−1+λx = -1 + \lambda, y=2y = 2, z=λz = \lambda.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Todo gira en torno a los vectores directores. El de rr se lee de los denominadores de su ecuación continua: (2,3,α)(2, 3, \alpha). El de ss, que viene como corte de dos planos, es el producto vectorial de sus dos vectores normales.

En a), dos rectas son perpendiculares cuando sus directores lo son, es decir, cuando su producto escalar es cero: sale una ecuación en α\alpha.

En b), una recta paralela a ss tiene su mismo director; solo nos falta un punto, el de rr con z=0z = 0, que se obtiene igualando a cero la última fracción de la ecuación continua.
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Desarrollo

a) Director de rr. u⃗=(2,3,α)\vec u = (2, 3, \alpha), y rr pasa por (−1,2,0)(-1, 2, 0).

Director de ss.v⃗=(−1,1,1)×(1,2,−1)=∣i⃗j⃗k⃗−11112−1∣=(−1−2,  −(1−1),  −2−1)=(−3,0,−3)\vec v = (-1, 1, 1)\times(1, 2, -1) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2,\; -(1 - 1),\; -2 - 1) = (-3, 0, -3)Simplificamos: v⃗=(1,0,1)\vec v = (1, 0, 1).

Perpendicularidad.u⃗⋅v⃗=2⋅1+3⋅0+α⋅1=2+α=0  ⇒  α=−2\vec u \cdot \vec v = 2\cdot 1 + 3\cdot 0 + \alpha\cdot 1 = 2 + \alpha = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = -2b) Punto de rr con z=0z = 0. Igualamos las fracciones a un parámetro: x=−1+2tx = -1 + 2t, y=2+3ty = 2 + 3t, z=αtz = \alpha t. Como α≠0\alpha \ne 0, z=0z = 0 obliga a t=0t = 0:P=(−1,2,0)P = (-1, 2, 0)(Si α\alpha fuera 0, todos los puntos de rr tendrían z=0z = 0 y no habría un único punto: por eso el enunciado lo excluye.)

Recta pedida. Pasa por PP con director v⃗=(1,0,1)\vec v = (1, 0, 1):{x=−1+λy=2z=λ,λ∈R\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 \\ z = \lambda \end{cases}, \quad \lambda \in \mathbb{R}En forma implícita: x−z+1=0x - z + 1 = 0, y=2y = 2.
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Consejo

No te olvides de sacar el director de ss con el producto vectorial de los normales: usar uno de los normales como si fuera el director es un error típico. Simplificar (−3,0,−3)(-3, 0, -3) a (1,0,1)(1, 0, 1) es válido y ahorra cuentas. Y en b), explica por qué hace falta α≠0\alpha \ne 0: muestra que entiendes de dónde sale el punto.
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