Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

a) Fórmula de la distancia. Para $P = (3, 1, -2)$ y $\vec n = (2, a, -1)$:$$d(P, \pi) = \frac{|2\cdot 3 + a\cdot 1 - (-2) + 3|}{\sqrt{2^2 + a^2 + (-1)^2}} = \frac{|a + 11|}{\sqrt{a^2 + 5}}$$(El punto está en el plano solo si $a = -11$; entonces la distancia es 0.)

b) Vector director de $r$. Es perpendicular a los normales de los dos planos que la definen:$$\vec d = (2, 4, -1)\times(-1, 1, 5) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 4 & -1 \\ -1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (21, -9, 6) = 3\,(7, -3, 2)$$Tomamos $\vec d = (7, -3, 2)$.

Ángulo recta-plano. Con $a = 4$, $\vec n = (2, 4, -1)$ y$$\operatorname{sen}\theta = \frac{|\vec d \cdot \vec n|}{|\vec d|\,|\vec n|} = \frac{|14 - 12 - 2|}{\sqrt{62}\,\sqrt{21}} = 0$$Luego $\theta = 0^\circ$: la recta es paralela al plano (el director es perpendicular al normal).

¿Está contenida? Un punto de $r$: con $z = 0$, $2x + 4y = 0$ y $-x + y = 3$ dan $y = 1$, $x = -2$, es decir, $Q = (-2, 1, 0)$. En $\pi$: $2(-2) + 4\cdot 1 - 0 + 3 = 3 \ne 0$. La recta es paralela al plano y no está en él; el ángulo es $0^\circ$ igualmente.

c) Recta perpendicular. Con $a = 3$, $\pi \equiv 2x + 3y - z + 3 = 0$ y $\vec n = (2, 3, -1)$. La recta que pasa por $P = \left(\frac{9}{2}, 5, -1\right)$ con dirección $\vec n$ es$$\left(\tfrac{9}{2} + 2t,\; 5 + 3t,\; -1 - t\right)$$Punto medio $M$. Es el corte con el plano:$$2\left(\tfrac{9}{2} + 2t\right) + 3\,(5 + 3t) - (-1 - t) + 3 = 0 \;\Rightarrow\; 28 + 14t = 0 \;\Rightarrow\; t = -2$$$$M = \left(\tfrac{9}{2} - 4,\; 5 - 6,\; -1 + 2\right) = \left(\tfrac{1}{2}, -1, 1\right)$$Simétrico. $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P'$, así que $P' = 2M - P$:$$P' = \left(1 - \tfrac{9}{2},\; -2 - 5,\; 2 + 1\right) = \left(-\tfrac{7}{2}, -7, 3\right)$$(Equivale a ir a $t = -4$ en la recta perpendicular.)

Comprobación. $M$ está en $\pi$: $1 - 3 - 1 + 3 = 0$ ✓, y $\overrightarrow{PP'} = (-8, -12, 4) = -4\,(2, 3, -1)$ es perpendicular al plano ✓.