Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & m^2 \end{pmatrix},

donde

m

es un parámetro real, se pide:

a) Calcular el producto

AB

y la matriz transpuesta de

AB

. (0,5 puntos)

b) En los casos en los que

A

es invertible, calcular la inversa de

A

. (0,75 puntos)

c) Resolver la ecuación matricial

BX + A^2 = C

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

AB = \begin{pmatrix} 1 & 19 \\ m - 1 & 5m + 2 \end{pmatrix}

(AB)^t = \begin{pmatrix} 1 & m - 1 \\ 19 & 5m + 2 \end{pmatrix}

.

b)

|A| = 2m - 3

; si

m \ne \frac{3}{2}

A^{-1} = \dfrac{1}{2m - 3}\begin{pmatrix} m & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

.

c) Para todo

m

X = \dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 41 - 2m & 15m + 29 \\ -m - 4 & -3m - 10 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con multiplicar fila por columna y luego cambiar filas por columnas.

En b), una matriz

2\times 2

es invertible si y solo si su determinante no es cero; para la inversa usamos la fórmula de los adjuntos, que en

2 \times 2

se reduce a intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la otra y dividir entre el determinante.

En c) despejamos $X$ como en una ecuación, pero respetando el orden del producto:

BX = C - A^2

y, como

B

está a la izquierda de

X

, multiplicamos por

B^{-1}

por la izquierda:

X = B^{-1}(C - A^2)

. Antes hay que comprobar que

B

tiene inversa.

Desarrollo

a) Producto.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 4 + 15 \\ -1 + m & 2 + 5m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 19 \\ m - 1 & 5m + 2 \end{pmatrix}

Transpuesta. Las filas pasan a ser columnas:

(AB)^t = \begin{pmatrix} 1 & m - 1 \\ 19 & 5m + 2 \end{pmatrix}

b) Determinante.

|A| = 2m - 3

A

es invertible si y solo si

2m - 3 \ne 0

, es decir,

m \ne \frac{3}{2}

.

Inversa. Los adjuntos son

A_{11} = m

A_{12} = -1

A_{21} = -3

A_{22} = 2

, así que

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \frac{1}{2m - 3}\begin{pmatrix} m & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \dfrac{1}{2m-3}\begin{pmatrix} 2m - 3 & -6 + 6 \\ m - m & -3 + 2m \end{pmatrix} = I

.

c) Despejamos $X$ .

BX = C - A^2 \;\Rightarrow\; X = B^{-1}\,(C - A^2)

$B$ es invertible.

|B| = -5 - 2 = -7 \ne 0

, y

B^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Cuadrado de $A$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 6 + 3m \\ 2 + m & 3 + m^2 \end{pmatrix}

Diferencia. El

m^2

C

se va con el de

A^2

C - A^2 = \begin{pmatrix} -7 & -7 - 3m \\ 3 - m & -3 \end{pmatrix}

Producto final.

X = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -7 & -7 - 3m \\ 3 - m & -3 \end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 35 + 6 - 2m & 35 + 15m - 6 \\ -7 + 3 - m & -7 - 3m - 3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} \dfrac{41 - 2m}{7} & \dfrac{15m + 29}{7} \\[2mm] -\dfrac{m + 4}{7} & -\dfrac{3m + 10}{7} \end{pmatrix}

La solución existe para todo

m

: lo que hay que invertir es

B

, que no depende del parámetro.

Comprobación (con

m = 0

X = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 41 & 29 \\ -4 & -10 \end{pmatrix}

BX = \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -41 - 8 & -29 - 20 \\ 41 - 20 & 29 - 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -7 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = C - A^2

✓.

Consejo

El error más caro en c) es multiplicar por $B^{-1}$ por la derecha: como $B$ va delante de $X$ , la inversa tiene que ir delante, $X = B^{-1}(C - A^2)$ , y el producto de matrices no es conmutativo. Di siempre por qué existe $B^{-1}$ ( $|B| \ne 0$ ) y, en b), para qué valores de $m$ no existe la de $A$ . Una comprobación con un valor sencillo de $m$ detecta casi cualquier error de signo.