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Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

Comunitat Valenciana · 2025 · Junio (reserva)
Enunciado
Una empresa de producción agrícola desarrolla fertilizantes que combinan tres nutrientes esenciales: nitrógeno (N), fósforo (P) y potasio (K). Se representan por xx, yy, zz las cantidades en kilogramos a usar por lote de N, P, K, respectivamente. Estas cantidades deben cumplir las siguientes restricciones:{3x+4y+αz=30−2x+y+z=42x−y+αz=10,\begin{cases} 3x + 4y + \alpha z = 30 \\ -2x + y + z = 4 \\ 2x - y + \alpha z = 10 \end{cases},donde α\alpha es un parámetro real.

a) Discutir, en función del parámetro α\alpha, el sistema de ecuaciones anterior. (1,25 puntos)

b) Obtener las cantidades xx, yy, zz en el caso de que el sistema sea compatible. (1,25 puntos)
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Resultado
a) ∣A∣=11(α+1)|A| = 11(\alpha + 1). Si α≠−1\alpha \ne -1, sistema compatible determinado; si α=−1\alpha = -1, incompatible (rg⁡A=2\operatorname{rg} A = 2, rg⁡A∗=3\operatorname{rg} A^* = 3).

b) Para α≠−1\alpha \ne -1:x=7011(α+1),y=44α+3011(α+1),z=14α+1x = \frac{70}{11(\alpha + 1)},\quad y = \frac{44\alpha + 30}{11(\alpha + 1)},\quad z = \frac{14}{\alpha + 1}(Cantidades no negativas si α≥−1522\alpha \ge -\frac{15}{22}.)
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro. Lo discutimos con Rouché-Frobenius: calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, vemos para qué α\alpha se anula y estudiamos ese caso aparte comparando rangos.

Hay un atajo que conviene ver: la segunda y la tercera ecuación tienen xx e yy con coeficientes opuestos. Si las sumamos, desaparecen las dos y queda una ecuación solo en zz. Eso facilita tanto la discusión como la resolución.
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Desarrollo

a) Matrices del sistema.A=(34α−2112−1α),A∗=(34α30−21142−1α10)A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & \alpha \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & \alpha \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & \alpha & 30 \\ -2 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & \alpha & 10 \end{array}\right)Determinante. Desarrollando por la primera fila:∣A∣=3 (α+1)−4 (−2α−2)+α (2−2)=3α+3+8α+8=11(α+1)|A| = 3\,(\alpha + 1) - 4\,(-2\alpha - 2) + \alpha\,(2 - 2) = 3\alpha + 3 + 8\alpha + 8 = 11(\alpha + 1)Se anula solo para α=−1\alpha = -1.

Caso α≠−1\alpha \ne -1. ∣A∣≠0|A| \ne 0, así que rg⁡(A)=rg⁡(A∗)=3\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 = número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso α=−1\alpha = -1. El menor ∣34−21∣=3+8=11≠0\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 + 8 = 11 \ne 0, así que rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2. Para la ampliada, el menor con la columna de términos independientes:∣3430−2142−110∣=3 (10+4)−4 (−20−8)+30 (2−2)=42+112=154≠0\begin{vmatrix} 3 & 4 & 30 \\ -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 10 \end{vmatrix} = 3\,(10 + 4) - 4\,(-20 - 8) + 30\,(2 - 2) = 42 + 112 = 154 \ne 0Luego rg⁡(A∗)=3≠rg⁡(A)\operatorname{rg}(A^*) = 3 \ne \operatorname{rg}(A): sistema incompatible.

Se ve también con el atajo: sumando la 2.ª y la 3.ª ecuación queda (α+1) z=14(\alpha + 1)\,z = 14, que con α=−1\alpha = -1 dice 0=140 = 14.

b) Ecuación en zz. Para α≠−1\alpha \ne -1, sumando la segunda y la tercera ecuación:(α+1) z=14  ⇒  z=14α+1(\alpha + 1)\,z = 14 \;\Rightarrow\; z = \frac{14}{\alpha + 1}Despejamos yy de la segunda: y=4+2x−zy = 4 + 2x - z.

Sustituimos en la primera.3x+4 (4+2x−z)+αz=30  ⇒  11x=14−(α−4) z=14−14(α−4)α+1=14 (α+1−α+4)α+1=70α+13x + 4\,(4 + 2x - z) + \alpha z = 30 \;\Rightarrow\; 11x = 14 - (\alpha - 4)\,z = 14 - \frac{14(\alpha - 4)}{\alpha + 1} = \frac{14\,(\alpha + 1 - \alpha + 4)}{\alpha + 1} = \frac{70}{\alpha + 1}x=7011(α+1)x = \frac{70}{11(\alpha + 1)}Y yy.y=4+14011(α+1)−14α+1=44(α+1)+140−15411(α+1)=44α+3011(α+1)y = 4 + \frac{140}{11(\alpha + 1)} - \frac{14}{\alpha + 1} = \frac{44(\alpha + 1) + 140 - 154}{11(\alpha + 1)} = \frac{44\alpha + 30}{11(\alpha + 1)}Comprobación en la tercera ecuación:2x−y+αz=140−44α−30+154α11(α+1)=110α+11011(α+1)=10  ✓2x - y + \alpha z = \frac{140 - 44\alpha - 30 + 154\alpha}{11(\alpha + 1)} = \frac{110\alpha + 110}{11(\alpha + 1)} = 10 \;\checkmarkSentido del problema. Como son kilogramos, para que las tres cantidades sean no negativas hace falta α>−1\alpha > -1 (así x,z>0x, z > 0) y además 44α+30≥044\alpha + 30 \ge 0, es decir, α≥−1522\alpha \ge -\frac{15}{22}.
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Consejo

En la discusión hay que justificar los rangos en cada caso, no solo decir «SCD» o «SI»: en α=−1\alpha = -1 enseña un menor de orden 2 no nulo de AA y uno de orden 3 no nulo de la ampliada. Antes de lanzarte con Cramer, mira si combinando ecuaciones se te van incógnitas: aquí sumar dos de ellas resuelve medio problema. Y comprueba la solución en la ecuación que no usaste.
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