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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio (reserva)

Enunciado

Una firma automovilística fabrica tres modelos de coches: M1, M2 y M3, y produce un 35% de vehículos en Estados Unidos, un 45% en China y un 20% en Alemania.

En la planta de Estados Unidos se fabrican un 38% de vehículos del modelo M1, un 42% del M2 y un 20% del M3; en la de China un 42% del M1, un 40% del M2 y un 18% del M3; y en la de Alemania un 24% del M1, un 40% del M2 y un 36% del M3.

El control de calidad ha detectado que en Estados Unidos un 3% de los coches presenta algún tipo de defecto, en China un 4% y en Alemania un 1%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche seleccionado al azar presente algún tipo de defecto? (0,75 puntos)

b) Si un coche no presenta ningún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que esté fabricado en Estados Unidos? (0,75 puntos)

c) Dados 9 coches fabricados en Alemania, calcular la probabilidad que al menos 3 sean del modelo M2. (1 punto)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

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Resultado

P(D) = 0{,}0305

.

b)

P(E \mid \overline{D}) = \dfrac{0{,}3395}{0{,}9695} \approx 0{,}3502

.

c) Con

X \sim B(9;\ 0{,}4)

P(X \ge 3) = 1 - F(2) = 0{,}7682

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado da mucha información, pero no toda hace falta en cada apartado. Llamamos

E

C

A

a que el coche se fabrique en Estados Unidos, China o Alemania, y

D

a que tenga algún defecto. Los porcentajes de defectos están dados por planta: son probabilidades condicionadas,

P(D \mid E)

P(D \mid C)

P(D \mid A)

.

En a) el coche puede venir de cualquiera de las tres plantas: es el teorema de la probabilidad total, con un árbol de dos niveles (planta → defecto). En b) nos dan el resultado («no tiene defecto») y preguntan por la causa (la planta): eso es Bayes. Los modelos M1, M2 y M3 no intervienen en a) ni en b).

En c) solo importan los coches de Alemania, y de ellos, cuántos son M2: cada coche es M2 o no con probabilidad

0{,}40

, independientemente de los demás. Es una binomial

B(9;\ 0{,}4)

, y «al menos 3» se calcula mejor por el contrario.

Desarrollo

a) Los datos. Por plantas:

P(E) = 0{,}35,\quad P(C) = 0{,}45,\quad P(A) = 0{,}20

P(D \mid E) = 0{,}03,\quad P(D \mid C) = 0{,}04,\quad P(D \mid A) = 0{,}01

Probabilidad total. Las tres plantas son incompatibles y cubren todos los casos, así que

P(D) = P(E)\,P(D \mid E) + P(C)\,P(D \mid C) + P(A)\,P(D \mid A)

P(D) = 0{,}35 \cdot 0{,}03 + 0{,}45 \cdot 0{,}04 + 0{,}20 \cdot 0{,}01 = 0{,}0105 + 0{,}018 + 0{,}002 = 0{,}0305

b) Sin defecto. El contrario de a):

P(\overline{D}) = 1 - 0{,}0305 = 0{,}9695

Teorema de Bayes. Con

P(\overline{D} \mid E) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97

P(E \mid \overline{D}) = \frac{P(E)\,P(\overline{D} \mid E)}{P(\overline{D})} = \frac{0{,}35 \cdot 0{,}97}{0{,}9695} = \frac{0{,}3395}{0{,}9695} \approx 0{,}3502

Sale casi igual que

P(E) = 0{,}35

: hay tan pocos coches defectuosos que saber que uno está bien apenas cambia de dónde viene.

c) La variable.

X

= número de coches M2 entre los 9 fabricados en Alemania. En Alemania el 40% son del modelo M2, y cada coche lo es o no con independencia de los demás:

X \sim B(9;\ 0{,}4)

El contrario de «al menos 3». Es «como mucho 2»:

P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - F(2)

Con la tabla. Para

n = 9

p = 0{,}40

F(2) = 0{,}2318

. A mano:

P(X \le 2) = 0{,}6^9 + 9\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6^8 + 36 \cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6^7 \approx 0{,}0101 + 0{,}0605 + 0{,}1612 = 0{,}2318

P(X \ge 3) = 1 - 0{,}2318 = 0{,}7682

Consejo

Dibuja el árbol (planta → defecto) y escribe con notación de condicionada qué es cada porcentaje: el 3% es $P(D \mid E)$ , no $P(D \cap E)$ . En b) cuidado con el condicionante: es «no tiene defecto», así que en el numerador va $0{,}97$ , no $0{,}03$ . En c) define la variable y su distribución, y recuerda que la tabla da $P(X \le x)$ : «al menos 3» es $1 - F(2)$ , no $1 - F(3)$ .