Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

a) Función a trozos. $|x - 2| = 2 - x$ si $x < 2$, y $x - 2$ si $x \ge 2$:$$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 2x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$Cortes con el eje OX. $x\,|x - 2| = 0 \iff x = 0$ o $x = 2$.

Primer trozo ($x < 2$). Parábola abierta hacia abajo con vértice en $x = 1$, $f(1) = 1$. Es negativa para $x < 0$ y positiva entre $0$ y $2$.

Segundo trozo ($x \ge 2$). Parábola abierta hacia arriba con vértice en $x = 1$, fuera del trozo, así que en $[2, 5]$ es creciente y positiva.

Tabla de valores.La región. Entre $x = -1$ y $x = 0$ es un recinto por debajo del eje, limitado por la parábola que sube desde $(-1, -3)$ hasta el origen. Entre $0$ y $2$, un pequeño arco por encima del eje que llega a altura 1 en $x = 1$. En $x = 2$ la gráfica toca el eje con un pico (no es derivable: por la izquierda baja con pendiente $-2$ y por la derecha sube con pendiente $2$), y entre $2$ y $5$ sube como una parábola hasta $(5, 15)$, encerrando el recinto más grande, por encima del eje y cerrado por la recta $x = 5$.

b) Partimos la integral en los cortes con el eje:$$\text{Área} = \left|\int_{-1}^{0} (-x^2 + 2x)\,dx\right| + \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)\,dx + \int_{2}^{5} (x^2 - 2x)\,dx$$Primitivas. $\displaystyle\int (-x^2 + 2x)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2$ y $\displaystyle\int (x^2 - 2x)\,dx = \frac{x^3}{3} - x^2$.

Tramo $[-1, 0]$ (por debajo del eje).$$\int_{-1}^{0} (-x^2 + 2x)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = -\frac{4}{3} \;\Rightarrow\; A_1 = \frac{4}{3}$$Tramo $[0, 2]$.$$A_2 = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{0}^{2} = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$$Tramo $[2, 5]$.$$A_3 = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{2}^{5} = \left(\frac{125}{3} - 25\right) - \left(\frac{8}{3} - 4\right) = \frac{50}{3} + \frac{4}{3} = 18$$Área total.$$\text{Área} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 18 = \frac{62}{3} \approx 20{,}67\ \text{u}^2$$