Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de

80\ \text{cm}^3

de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por

\text{cm}^2

. La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro.

Obtener:

a) La función

P(x)

que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base

x

. (0,75 puntos)

b) Las dimensiones de la caja para que la función

P(x)

tenga el menor valor posible. (1,25 puntos)

c) El precio del material en el caso anterior. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(x) = \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{320}{x}

céntimos, con

x > 0

en cm.

b) Base cuadrada de lado

x = 4

cm y altura

y = 5

cm.

c)

P(4) = 120

céntimos (1,20 €).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La caja es un prisma de base cuadrada de lado

x

y altura

y

(en cm). El precio tiene dos partes:

base y tapa: dos cuadrados de área $x^2$ , a $1{,}25$ céntimos el $\text{cm}^2$ (un 25% más caro que 1 céntimo);
paredes laterales: cuatro rectángulos de área $x\,y$ , a 1 céntimo el $\text{cm}^2$ .

Hay dos variables, pero el volumen fijo,

x^2 y = 80

, las relaciona: despejamos

y

y nos queda una función de

x

sola. Después, lo de siempre: derivar, igualar a cero y comprobar que es un mínimo.

Desarrollo

a) Relación entre las variables. El volumen es

x^2\,y = 80 \;\Rightarrow\; y = \frac{80}{x^2}

Coste de cada parte (en céntimos).

\text{Base y tapa: } 2x^2 \cdot 1{,}25 = \frac{5}{2}x^2, \qquad \text{Laterales: } 4\,x\,y \cdot 1 = 4x\cdot\frac{80}{x^2} = \frac{320}{x}

Función precio.

P(x) = \frac{5}{2}x^2 + \frac{320}{x}, \qquad x > 0

b) Derivada.

P'(x) = 5x - \frac{320}{x^2}

Punto crítico.

P'(x) = 0 \;\Rightarrow\; 5x = \frac{320}{x^2} \;\Rightarrow\; x^3 = 64 \;\Rightarrow\; x = 4\ \text{cm}

Es un mínimo. Con la derivada segunda:

P''(x) = 5 + \frac{640}{x^3} \;\Rightarrow\; P''(4) = 5 + 10 = 15 > 0

Además

P'(x) < 0

para

0 < x < 4

P'(x) > 0

para

x > 4

: la función decrece y luego crece, así que en

x = 4

hay un mínimo absoluto en

(0, +\infty)

.

Altura.

y = \frac{80}{4^2} = 5\ \text{cm}

c) Precio mínimo.

P(4) = \frac{5}{2}\cdot 16 + \frac{320}{4} = 40 + 80 = 120\ \text{céntimos}

es decir, 1,20 €.

Consejo

El fallo típico está en a): olvidar la tapa (son dos cuadrados, no uno) o aplicar el 25% mal ( $1{,}25$ céntimos, no $0{,}25$ ). Escribe la restricción del volumen y el dominio ( $x > 0$ ), y justifica que el punto crítico es mínimo con $P''$ o con el signo de $P'$ : sin esa comprobación se pierde parte de la puntuación de b).

Paso 1 de 3

¿Has terminado el problema?

¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.

Sigue practicando

Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). En un jardín botánico se desea crear un recinto floral con forma de triángulo…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 3 Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). Un jardinero quiere vallar un campo rectangular que tiene un lado junto a…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4 Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Junio Optimización

Aina quiere construir una caja de cartón con forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el…

Matemáticas II · Cataluña · 2026 · Septiembre

Apuntes y todos los problemas de Análisis →