Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Se consideran el plano

\pi: 3x - y + 2z = 4

y el punto

P = (-1, 0, 1)

. Se pide:

a) La ecuación del plano perpendicular a

\pi

que pasa por

P

y por

Q = (2, 1, 2)

. (1 punto)

b) La distancia del punto

Q

al plano

\pi

. (0,5 puntos)

c) El punto simétrico de

P

respecto al plano

\pi

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\sigma: x - y - 2z + 3 = 0

.

b)

d(Q, \pi) = \dfrac{5}{\sqrt{14}} \approx 1{,}34

u.

c)

P' = \left(\dfrac{8}{7},\ -\dfrac{5}{7},\ \dfrac{17}{7}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor del vector normal de

\pi

\vec n_\pi = (3, -1, 2)

En a), el plano buscado es perpendicular a $\pi$ , así que contiene la dirección de $\vec n_\pi$ ; y como pasa por $P$ y $Q$ , contiene también $\overrightarrow{PQ}$ . Su normal es el producto vectorial de los dos.
En b), la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
En c), trazamos por $P$ la recta perpendicular a $\pi$ (director $\vec n_\pi$ ), la cortamos con $\pi$ para obtener el punto medio $M$ entre $P$ y su simétrico, y despejamos: $P' = 2M - P$ .

Desarrollo

a) Vectores del plano. El vector

\overrightarrow{PQ}

y el normal de

\pi

\overrightarrow{PQ} = (2, 1, 2) - (-1, 0, 1) = (3,\ 1,\ 1), \qquad \vec n_\pi = (3,\ -1,\ 2)

Normal del plano buscado.

\overrightarrow{PQ}\times\vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 2 - 1\cdot(-1),\ -(3\cdot 2 - 1\cdot 3),\ 3\cdot(-1) - 1\cdot 3\big) = (3,\ -3,\ -6)

Tomamos el proporcional

\vec n = (1, -1, -2)

.

Ecuación.

x - y - 2z + D = 0

, que pasa por

P

-1 - 0 - 2 + D = 0 \;\Rightarrow\; D = 3 \qquad\Longrightarrow\qquad \sigma: x - y - 2z + 3 = 0

Comprobación. Pasa por

Q

2 - 1 - 4 + 3 = 0

✓. Es perpendicular a

\pi

\vec n\cdot\vec n_\pi = 3 + 1 - 4 = 0

✓.

b) Distancia de $Q$ a $\pi$ . Escribimos

\pi: 3x - y + 2z - 4 = 0

d(Q, \pi) = \frac{|3\cdot 2 - 1 + 2\cdot 2 - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{14}}{14} \approx 1{,}3363 \ \text{u}

c) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . Director

\vec n_\pi = (3, -1, 2)

t: (x, y, z) = (-1 + 3\mu,\ -\mu,\ 1 + 2\mu)

Corte con $\pi$ (punto medio $M$ ).

3(-1 + 3\mu) - (-\mu) + 2(1 + 2\mu) = 4 \;\Rightarrow\; -1 + 14\mu = 4 \;\Rightarrow\; \mu = \frac{5}{14}

M = \left(-1 + \frac{15}{14},\ -\frac{5}{14},\ 1 + \frac{10}{14}\right) = \left(\frac{1}{14},\ -\frac{5}{14},\ \frac{24}{14}\right) = \left(\frac{1}{14},\ -\frac{5}{14},\ \frac{12}{7}\right)

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, así que

P' = 2M - P

P' = \left(\frac{2}{14} + 1,\ -\frac{10}{14} - 0,\ \frac{48}{14} - 1\right) = \left(\frac{8}{7},\ -\frac{5}{7},\ \frac{17}{7}\right)

Comprobación.

\overrightarrow{PP'} = \left(\frac{15}{7}, -\frac{5}{7}, \frac{10}{7}\right) = \frac{5}{7}(3, -1, 2)

es paralelo a

\vec n_\pi

✓, y el punto medio

\left(\frac{1}{14}, -\frac{5}{14}, \frac{12}{7}\right)

cumple

\frac{3}{14} + \frac{5}{14} + \frac{48}{14} = \frac{56}{14} = 4

✓.

Consejo

«Perpendicular a $\pi$ » significa que el plano contiene la dirección del normal de $\pi$ , no que tenga su mismo normal (eso sería paralelo): es el error más frecuente en a). Para el simétrico, el esquema recta perpendicular → punto medio → $P' = 2M - P$ es fijo; comprueba al final que $\overrightarrow{PP'}$ es paralelo al normal y que $M$ está en el plano.