Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Dada la recta

r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}

y la recta

s: \begin{cases} x = -1 \\ x + 2y + z = 0 \end{cases}

, calcular:

a) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas. (1 punto)

b) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas. (1 punto)

c) La distancia del punto

P = (1, 0, 2)

a dicho plano. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Las rectas se cortan en

(-1, -1, 3)

(con

\lambda = -1

r

).

b)

\pi: -x + 4y + 2z - 3 = 0

x - 4y - 2z + 3 = 0

).

c)

d(P, \pi) = 0

: el punto

P

pertenece a

r

y, por tanto, al plano.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta

r

viene en paramétricas y la

s

como corte de dos planos. Para ver si se cortan, lo más rápido es meter el punto genérico de $r$ en las dos ecuaciones de $s$ : si sale un valor de

\lambda

que cumple las dos, ese es el punto de corte.

Dos rectas que se cortan determinan un plano: pasa por el punto de corte y sus vectores directores lo generan, así que su normal es el producto vectorial de los dos directores.

En c), la fórmula de la distancia de un punto a un plano. Mira antes

P

: es un punto conocido de

r

Desarrollo

a) Punto genérico de $r$ .

R_\lambda = (1 + 2\lambda,\ \lambda,\ 2 - \lambda)

.

Primera ecuación de $s$ .

x = -1

1 + 2\lambda = -1 \;\Rightarrow\; \lambda = -1 \;\Rightarrow\; R_{-1} = (-1,\ -1,\ 3)

Segunda ecuación de $s$ . Comprobamos que ese punto la cumple:

x + 2y + z = -1 + 2\,(-1) + 3 = 0 \;\checkmark

Las rectas se cortan en el punto

(-1, -1, 3)

.

b) Vector director de $r$ . De las paramétricas,

\vec u_r = (2, 1, -1)

.

Vector director de $s$ . Resolvemos

s

tomando

y = t

x = -1

z = -x - 2y = 1 - 2t

, así que

s: (x, y, z) = (-1,\ 0,\ 1) + t\,(0,\ 1,\ -2), \qquad \vec u_s = (0, 1, -2)

(También sale como producto vectorial de las normales

(1,0,0)

(1,2,1)

de los dos planos:

(0, -1, 2)

, proporcional.)

Vector normal del plano.

\vec n = \vec u_r \times \vec u_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-2) - (-1)\cdot 1,\ -(2\cdot(-2) - 0),\ 2\cdot 1 - 0\big) = (-1,\ 4,\ 2)

Ecuación del plano.

-x + 4y + 2z + D = 0

, que pasa por el punto de corte

(-1, -1, 3)

1 - 4 + 6 + D = 0 \;\Rightarrow\; D = -3 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi: -x + 4y + 2z - 3 = 0

Comprobación. El punto

(1, 0, 2)

r

-1 + 0 + 4 - 3 = 0

✓. El punto

(-1, 0, 1)

s

1 + 0 + 2 - 3 = 0

✓.

c) Distancia de $P$ al plano.

d(P, \pi) = \frac{|-1 + 4\cdot 0 + 2\cdot 2 - 3|}{\sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2}} = \frac{|0|}{\sqrt{21}} = 0

Interpretación.

P = (1, 0, 2)

es el punto de

r

con

\lambda = 0

; como

r

está contenida en el plano,

P

también lo está y su distancia es nula.

Consejo

Cuando una recta viene como corte de dos planos, pásala a paramétricas (o saca su director con el producto vectorial de las normales) antes de nada: casi todo lo demás se hace con directores. Y en c), si te sale distancia cero, no lo dudes: explica por qué (aquí $P$ está en $r$ ), que es lo que el corrector quiere leer.