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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 3x - 2y - 3z = 0 \\ 2x + ay - 5z = -3 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases}

donde

a

es un parámetro real. Se pide:

a) Discutir el sistema en función del parámetro

a

. (1 punto)

b) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. (0,75 puntos)

c) Calcular la solución del sistema para

a = 0

. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|A| = 9a + 27

. Si

a \ne -3

, compatible determinado; si

a = -3

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^* = 2

: compatible indeterminado.

b) Para

a = -3

x = \dfrac{6 - \lambda}{5}

y = \dfrac{9 - 9\lambda}{5}

z = \lambda

, con

\lambda \in \mathbb{R}

.

c) Para

a = 0

x = 1

y = 0

z = 1

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema de siempre con Rouché-Frobenius: el sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes. Donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. En los valores que lo anulan, comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

En b) resolvemos el caso indeterminado quitando la ecuación que sobra y pasando una incógnita como parámetro. En c) el sistema es compatible determinado y basta con Cramer (o Gauss).

Desarrollo

a) Matrices del sistema.

A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 2 & a & -5 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & -3 & 0 \\ 2 & a & -5 & -3 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)

Determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

|A| = 3\,(2a + 5) + 2\,(4 + 5) - 3\,(2 - a) = 6a + 15 + 18 - 6 + 3a = 9a + 27

|A| = 0 \iff 9a + 27 = 0 \iff a = -3

Caso $a \ne -3$ .

|A| \ne 0

, así que

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^* = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = -3$ . El menor

\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \ne 0

, así que

\operatorname{rg}A = 2

. Para la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\,(-9 + 3) + 2\,(6 + 3) + 0 = -18 + 18 = 0

El otro menor de orden 3 de

A^*

que contiene las columnas 1 y la de términos independientes también es nulo:

\begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 2 & -5 & -3 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3\,(-15 + 6) + 3\,(6 + 3) + 0 = -27 + 27 = 0

Así que

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}A^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado (un parámetro).

b) Ecuaciones independientes. Con

a = -3

, las filas 1 y 3 tienen el menor no nulo, así que la segunda ecuación es combinación de ellas y la quitamos. Tomamos

z = \lambda

\begin{cases} 3x - 2y = 3\lambda \\ x + y = 3 - 2\lambda \end{cases}

Resolvemos. De la segunda,

y = 3 - 2\lambda - x

; en la primera:

3x - 2(3 - 2\lambda - x) = 3\lambda \;\Rightarrow\; 5x - 6 + 4\lambda = 3\lambda \;\Rightarrow\; x = \frac{6 - \lambda}{5}

y = 3 - 2\lambda - \frac{6 - \lambda}{5} = \frac{15 - 10\lambda - 6 + \lambda}{5} = \frac{9 - 9\lambda}{5}

Comprobación en la ecuación quitada (

2x - 3y - 5z = -3

\frac{12 - 2\lambda}{5} - \frac{27 - 27\lambda}{5} - 5\lambda = \frac{-15 + 25\lambda}{5} - 5\lambda = -3 \;\checkmark

c) Caso $a = 0$ . Es compatible determinado y

|A| = 9\cdot 0 + 27 = 27

. Por Cramer:

x = \frac{1}{27}\begin{vmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -3 & 0 & -5 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{0 + 2\,(-6 + 15) - 3\,(-3 - 0)}{27} = \frac{18 + 9}{27} = 1

y = \frac{1}{27}\begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & -5 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \frac{3\,(-6 + 15) - 0 - 3\,(6 + 3)}{27} = \frac{27 - 27}{27} = 0

z = \frac{1}{27}\begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \frac{3\,(0 + 3) + 2\,(6 + 3) + 0}{27} = \frac{9 + 18}{27} = 1

Comprobación.

3 - 0 - 3 = 0

✓;

2 + 0 - 5 = -3

✓;

1 + 0 + 2 = 3

✓.

Consejo

En la discusión no basta con decir « $|A| = 0$ en $a = -3$ »: hay que calcular también el rango de la ampliada en ese valor, porque podría salir incompatible. Y nombra el teorema (Rouché-Frobenius) y los rangos en cada caso. En b), comprueba la solución en la ecuación que has descartado: si no se cumple, te has equivocado al elegir cuál sobraba o al operar.