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Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real

\alpha

y es:

A = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}.

a) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella,

A^2 = A

. Obtener los valores

\alpha

que permitan funcionar a este proceso. (1,25 puntos)

b) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de

A

. Obtener los valores de

\alpha

para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de

\alpha

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A^2 = A

solo para

\alpha = 0

.

b)

|A| = \alpha(1-\alpha)

: existe la inversa si

\alpha \ne 0

\alpha \ne 1

, y entonces

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con calcular $A^2$ y obligar a que cada elemento coincida con el de

A

: sale un sistema de ecuaciones en

\alpha

, y valen solo los valores que cumplen todas a la vez.

En b), una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. La matriz es triangular superior, así que el determinante es el producto de la diagonal. Para la inversa, la fórmula de los adjuntos:

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

. Al final, comprobamos que

A\cdot A^{-1} = I

Desarrollo

a) Cuadrado de $A$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha + \alpha^2 & 0 \\ 0 & \alpha^2 & 0 \\ 0 & 0 & (1-\alpha)^2 \end{pmatrix}

Igualamos elemento a elemento. Los elementos que no dependen de

\alpha

ya coinciden; quedan tres condiciones:

\begin{cases} \alpha + \alpha^2 = \alpha \;\Rightarrow\; \alpha^2 = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0 \\ \alpha^2 = \alpha \;\Rightarrow\; \alpha(\alpha - 1) = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 1 \\ (1-\alpha)^2 = 1-\alpha \;\Rightarrow\; (1-\alpha)(-\alpha) = 0 \;\Rightarrow\; \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 1 \end{cases}

Valores comunes. La primera ecuación solo admite

\alpha = 0

, que también cumple las otras dos. Por tanto

\alpha = 0

es el único valor. (Con

\alpha = 1

fallaría el elemento

(1,2)

1 + 1 = 2 \ne 1

.)

Comprobación. Con

\alpha = 0

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

y, efectivamente,

A^2 = A

.

b) Determinante.

A

es triangular superior, así que

|A| = 1 \cdot \alpha \cdot (1-\alpha) = \alpha(1-\alpha)

Existencia de la inversa.

|A| = 0 \iff \alpha = 0

\alpha = 1

. Así que

A

tiene inversa si y solo si

\alpha \ne 0

\alpha \ne 1

.

Adjuntos. Calculamos cada adjunto

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \alpha(1-\alpha),\quad A_{12} = 0,\quad A_{13} = 0

A_{21} = -\begin{vmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1-\alpha \end{vmatrix} = -\alpha(1-\alpha),\quad A_{22} = 1-\alpha,\quad A_{23} = 0

A_{31} = 0,\quad A_{32} = 0,\quad A_{33} = \alpha

Traspuesta de la adjunta.

(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix}

Inversa. Dividimos entre

|A| = \alpha(1-\alpha)

A^{-1} = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\begin{pmatrix} \alpha(1-\alpha) & -\alpha(1-\alpha) & 0 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1-\alpha} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 + 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Consejo

En a) el error típico es quedarse con las soluciones de una sola ecuación: $\alpha^2 = \alpha$ da $0$ y $1$ , pero $\alpha = 1$ no cumple la del elemento $(1,2)$ . Hay que cruzar todas las condiciones. En b), di explícitamente para qué valores no existe la inversa y por qué ( $|A| = 0$ ), y termina comprobando $A\,A^{-1} = I$ : es un minuto y te asegura los puntos.