Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Junio

Enunciado

Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.

a) Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni? (0,25 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza? (0,75 puntos)

Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita? (0,75 puntos)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita? (0,75 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

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Resultado

P(\text{pepperoni}) = 0{,}35

.

b)

P(\text{distinto tipo}) = 1 - 0{,}345 = 0{,}655

.

c) Con

X \sim B(10;\ 0{,}4)

P(X = 4) \approx 0{,}2508

.

d)

P(X \ge 1) = 1 - 0{,}6^{10} \approx 0{,}994

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

M

V

P

a que un cliente pida margarita, vegetariana o pepperoni. Son tres sucesos incompatibles que cubren todos los casos, así que sus probabilidades suman 1: de ahí sale a).

Para b), lo más corto es el contrario: «pedir tipos distintos» es lo opuesto a «pedir los dos lo mismo», y lo mismo solo puede ser

MM

VV

PP

. Los dos clientes son independientes, así que cada pareja se calcula multiplicando.

En c) y d) contamos cuántos de 10 clientes piden margarita: cada cliente es un ensayo con dos resultados (margarita o no), con la misma probabilidad

0{,}4

e independientes entre sí. Es una binomial

X \sim B(10;\ 0{,}4)

. En d), otra vez el contrario: «al menos uno» es lo opuesto a «ninguno».

Desarrollo

a) Probabilidad de pepperoni. Como

M

V

P

son incompatibles y uno de ellos ocurre siempre:

P(P) = 1 - P(M) - P(V) = 1 - 0{,}40 - 0{,}25 = 0{,}35

b) El suceso contrario. Que los dos clientes pidan lo mismo es

MM \cup VV \cup PP

, tres casos incompatibles. Por la independencia de los dos clientes:

P(\text{mismo tipo}) = 0{,}4^2 + 0{,}25^2 + 0{,}35^2 = 0{,}16 + 0{,}0625 + 0{,}1225 = 0{,}345

Tipos distintos.

P(\text{distinto tipo}) = 1 - 0{,}345 = 0{,}655

(Directamente saldría lo mismo sumando las seis parejas ordenadas distintas:

2\,(0{,}4\cdot 0{,}25 + 0{,}4\cdot 0{,}35 + 0{,}25\cdot 0{,}35) = 2\cdot 0{,}3275 = 0{,}655

.)

c) La variable.

X

= número de clientes, de los 10, que piden margarita. Cada cliente pide margarita con probabilidad

p = 0{,}4

, independientemente de los demás, así que

X \sim B(10;\ 0{,}4)

Probabilidad de exactamente 4.

P(X = 4) = \binom{10}{4}\,0{,}4^4\,0{,}6^6 = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 \approx 0{,}2508

Con la tabla. La tabla da la función de distribución

F(x) = P(X \le x)

, así que

P(X = 4) = F(4) - F(3) = 0{,}6331 - 0{,}3823 = 0{,}2508

.

d) El contrario de «al menos uno». Es «ninguno pide margarita»,

X = 0

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}6^{10} = 1 - 0{,}0060 \approx 0{,}994

(En la tabla,

F(0) = 0{,}0060

para

n = 10

p = 0{,}40

Consejo

Escribe siempre la variable y su distribución, « $X \sim B(10;\ 0{,}4)$ », y por qué es binomial (ensayos independientes, dos resultados, misma probabilidad): es parte de lo que se puntúa. Ojo con la tabla: da $P(X \le x)$ , no $P(X = x)$ ; para una probabilidad puntual hay que restar dos valores. Y cuando aparezca «al menos uno» o «distintos», piensa primero en el contrario.