Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

a) Área total. Sean $r$ el radio de la base y $h$ la altura, en cm. Cada tapa es un círculo de área $\pi r^2$, y la superficie lateral, desenrollada, es un rectángulo de lados $2\pi r$ y $h$:$$A(r, h) = 2\pi r^2 + 2\pi r h \quad (\text{cm}^2)$$b) Relación entre las variables. El volumen es fijo:$$V = \pi r^2 h = 33 \;\Longrightarrow\; h = \frac{33}{\pi r^2}$$Función de una variable. Sustituyendo en el área:$$A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{33}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{66}{r}, \qquad r > 0$$Derivada e igualación a cero.$$A'(r) = 4\pi r - \frac{66}{r^2} = 0 \;\Longrightarrow\; 4\pi r^3 = 66 \;\Longrightarrow\; r^3 = \frac{33}{2\pi}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{33}{2\pi}} \approx 1{,}738\ \text{cm}$$Es un mínimo.$$A''(r) = 4\pi + \frac{132}{r^3} > 0 \quad \text{para todo } r > 0,$$así que en ese punto hay un mínimo, y es el absoluto: $A'$ es negativa antes ($A$ decrece) y positiva después ($A$ crece), y es el único punto crítico en $(0, +\infty)$.

Altura. De $r^3 = \frac{33}{2\pi}$ sale $33 = 2\pi r^3$, y entonces$$h = \frac{33}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 3{,}476\ \text{cm}$$La altura del bote óptimo es igual al diámetro de la base.

c) Área mínima. Con $h = 2r$:$$A = 2\pi r^2 + 2\pi r\,(2r) = 6\pi r^2 = 6\pi\left(\frac{33}{2\pi}\right)^{2/3} \approx 6\pi\cdot 1{,}738^2 \approx 56{,}95\ \text{cm}^2$$Comprobación. Con $A(r) = 2\pi r^2 + \frac{66}{r}$ y $r = 1{,}7382$: $2\pi\cdot 3{,}0213 + \frac{66}{1{,}7382} = 18{,}98 + 37{,}97 = 56{,}95\ \text{cm}^2$ ✓. Y el volumen: $\pi\cdot 1{,}7382^2\cdot 3{,}4765 \approx 33{,}0\ \text{cm}^3$ ✓.