Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Se considera el plano

\pi

con ecuación

2x + 3y - z = 0

y los cuatro puntos

A = (0, 0, 0)

B = (10, 0, -20)

C = (0, 15, -30)

D = (1, 2, -1)

.

a) Comprobar si el triángulo

ABC

pertenece al plano

\pi

. (0,5 puntos)

b) Calcular la distancia del punto

D

al plano

\pi

. (0,5 puntos)

c) Calcular las coordenadas de la proyección del punto

D

sobre el plano formado por los puntos

A

B

C

. (1,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) No:

A

está en

\pi

, pero

B

(

2x + 3y - z = 40

) y

C

(

= 75

) no, así que el triángulo

ABC

no pertenece a

\pi

.

b)

d(D, \pi) = \dfrac{9}{\sqrt{14}} = \dfrac{9\sqrt{14}}{14} \approx 2{,}41

u.

c) El plano

ABC

2x + 2y + z = 0

y la proyección de

D

sobre él es

D' = \left(-\dfrac19,\ \dfrac89,\ -\dfrac{14}{9}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el triángulo está en $\pi$ si lo están sus tres vértices: basta con sustituirlos en la ecuación. En cuanto uno falle, la respuesta es que no.
En b) se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano.
En c) hay que construir primero el plano $ABC$ (un punto y los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ ) y después proyectar: se traza por $D$ la recta perpendicular al plano (con su vector normal como director) y se corta con él.

Desarrollo

a) Vértices en $\pi$ . Sustituimos cada uno en

2x + 3y - z

$A = (0, 0, 0)$ : $0 + 0 - 0 = 0$ ✓, está en $\pi$ .
$B = (10, 0, -20)$ : $20 + 0 + 20 = 40 \neq 0$ , no está en $\pi$ .
$C = (0, 15, -30)$ : $0 + 45 + 30 = 75 \neq 0$ , no está en $\pi$ .

Conclusión. Como

B

C

no son de

\pi

, el triángulo

ABC

no pertenece al plano

\pi

(solo tiene en común con él el vértice

A

).

b) Fórmula de la distancia. Con

\vec n_\pi = (2, 3, -1)

D = (1, 2, -1)

d(D, \pi) = \frac{|2\cdot 1 + 3\cdot 2 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 6 + 1|}{\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{14}} = \frac{9\sqrt{14}}{14} \approx 2{,}41

c) Plano $ABC$ . Vectores del plano:

\overrightarrow{AB} = (10, 0, -20), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 15, -30)

Para simplificar usamos los proporcionales

\vec u = (1, 0, -2)

\vec v = (0, 1, -2)

.

Normal.

\vec n = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (0 + 2,\ 0 + 2,\ 1 - 0) = (2, 2, 1)

Ecuación. Pasa por

A = (0, 0, 0)

, así que

\pi_{ABC}: 2x + 2y + z = 0

Comprobación:

B

20 + 0 - 20 = 0

✓;

C

0 + 30 - 30 = 0

✓.

Recta perpendicular por $D$ . Con director

\vec n = (2, 2, 1)

s: (x, y, z) = (1 + 2\lambda,\ 2 + 2\lambda,\ -1 + \lambda)

Corte con el plano.

2(1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (-1 + \lambda) = 0 \;\Longrightarrow\; 5 + 9\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac59

Proyección.

D' = \left(1 - \frac{10}{9},\ 2 - \frac{10}{9},\ -1 - \frac59\right) = \left(-\frac19,\ \frac89,\ -\frac{14}{9}\right)

Comprobación.

D'

está en el plano:

2\left(-\frac19\right) + 2\cdot\frac89 - \frac{14}{9} = \frac{-2 + 16 - 14}{9} = 0

✓. Y

\overrightarrow{D'D} = \left(\frac{10}{9}, \frac{10}{9}, \frac59\right) = \frac59(2, 2, 1)

es paralelo al normal ✓ (su módulo,

\frac53

, es la distancia de

D

al plano

ABC

Consejo

En a) basta un vértice que no cumpla la ecuación para decir que no, pero enseña la sustitución de los tres: el corrector quiere ver la comprobación, no solo la conclusión.

Ojo en c): la proyección es sobre el plano $ABC$ , no sobre $\pi$ . Calcula ese plano y comprueba que pasa por $B$ y $C$ antes de seguir. Al final, verifica que $D'$ está en el plano y que $\overrightarrow{D'D}$ es paralelo al normal.