Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

a) Datos de la recta. De $2x - y = 0$ y $z = y$: $y = 2x$, $z = 2x$. Con $x = \lambda$:$$r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + \lambda\,(1, 2, 2)$$Punto $P_r = (0, 0, 0)$ y vector director $\vec d_r = (1, 2, 2)$.

Normal de $\pi$. $\vec n_\pi = (2, 0, -1)$.

¿Existe? $\vec d_r$ y $\vec n_\pi$ no son proporcionales (la segunda coordenada de $\vec n_\pi$ es 0 y la de $\vec d_r$ no), así que $r$ no es perpendicular a $\pi$ y el plano existe y es único. (De hecho $\vec d_r \cdot \vec n_\pi = 2 + 0 - 2 = 0$: $r$ es paralela a $\pi$.)

Normal del plano buscado. Es perpendicular a $\vec d_r$ y a $\vec n_\pi$:$$\vec n = \vec d_r \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2 - 0,\ 4 + 1,\ 0 - 4) = (-2, 5, -4)$$Tomamos el proporcional $(2, -5, 4)$.

Ecuación. $2x - 5y + 4z + D = 0$ y, como pasa por $(0, 0, 0)$, $D = 0$:$$\sigma: 2x - 5y + 4z = 0$$Comprobación. Contiene a $r$: el punto $(\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$ da $2\lambda - 10\lambda + 8\lambda = 0$ para todo $\lambda$ ✓. Es perpendicular a $\pi$: $(2, -5, 4)\cdot(2, 0, -1) = 4 - 4 = 0$ ✓.

b) Planos paralelos. Tienen el normal de $\pi$:$$\pi': 2x - z + D = 0$$Distancia de $P = (0, 1, 2)$.$$d(P, \pi') = \frac{|2\cdot 0 - 2 + D|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|D - 2|}{\sqrt 5} = 2$$Valor absoluto. $|D - 2| = 2\sqrt 5$, así que $D - 2 = 2\sqrt 5$ o $D - 2 = -2\sqrt 5$:$$D = 2 + 2\sqrt 5 \qquad \text{o} \qquad D = 2 - 2\sqrt 5$$Los dos planos.$$\pi_1: 2x - z + 2 + 2\sqrt 5 = 0, \qquad \pi_2: 2x - z + 2 - 2\sqrt 5 = 0$$Es decir, $2x - z = -2 - 2\sqrt 5$ y $2x - z = -2 + 2\sqrt 5$.

Comprobación. Para $\pi_1$: $\dfrac{|0 - 2 + 2 + 2\sqrt5|}{\sqrt5} = \dfrac{2\sqrt5}{\sqrt5} = 2$ ✓; para $\pi_2$: $\dfrac{|-2\sqrt5|}{\sqrt5} = 2$ ✓.