Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 + a & 2 & 1 \\ a & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 2 & 1 - a \\ 1 + a & 2 & 1 & a \\ a & -1 & 1 & 1 - a \end{array}\right)$$Determinante de $A$ (desarrollando por la primera fila):$$|A| = 3\,(2 + 1) - 1\,\big((1 + a) - a\big) + 2\,\big(-(1 + a) - 2a\big) = 9 - 1 - 2 - 6a = 6 - 6a = 6(1 - a)$$Se anula solo para $a = 1$.

Caso $a \neq 1$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} 3x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$$Rango de $A$. $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$, luego $\operatorname{rg} A = 2$.

Rango de $A^*$. Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\,(0 + 1) - 1\,(0 - 1) + 0 = 3 + 1 = 4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg} A^* = 3$. Como $\operatorname{rg} A = 2 \neq \operatorname{rg} A^* = 3$: sistema incompatible.

(Se ve también restando: la primera ecuación menos la tercera da $2x + 2y + z = 0$, que contradice la segunda, $2x + 2y + z = 1$.)

b) Cuándo es compatible. Por a), solo para $a \neq 1$, y entonces es compatible determinado: hay una única solución para cada $a$. La calculamos por Cramer, con $|A| = 6(1 - a)$.

Incógnita $x$.$$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 - a & 1 & 2 \\ a & 2 & 1 \\ 1 - a & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3(1 - a) - (2a - 1) + 2(a - 2) = -3a$$$$x = \frac{-3a}{6(1 - a)} = \frac{a}{2(a - 1)}$$Incógnita $y$.$$|A_y| = \begin{vmatrix} 3 & 1 - a & 2 \\ 1 + a & a & 1 \\ a & 1 - a & 1 \end{vmatrix} = 3(2a - 1) - (1 - a) + 2(1 - 2a^2) = -4a^2 + 7a - 2$$$$y = \frac{-4a^2 + 7a - 2}{6(1 - a)}$$Incógnita $z$.$$|A_z| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 - a \\ 1 + a & 2 & a \\ a & -1 & 1 - a \end{vmatrix} = 3(2 - a) - (1 - 2a^2) + (1 - a)(-1 - 3a) = 5a^2 - 5a + 4$$$$z = \frac{5a^2 - 5a + 4}{6(1 - a)}$$Comprobación con $a = 0$: la fórmula da $(x, y, z) = \left(0, -\frac13, \frac23\right)$, y en el sistema $3\cdot 0 - \frac13 + \frac43 = 1$ ✓, $0 - \frac23 + \frac23 = 0$ ✓, $0 + \frac13 + \frac23 = 1$ ✓. Con $a = 2$ da $\left(1, \frac23, -\frac73\right)$: $3 + \frac23 - \frac{14}{3} = -1 = 1 - 2$ ✓, $3 + \frac43 - \frac73 = 2$ ✓, $2 - \frac23 - \frac73 = -1$ ✓.