Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

a) Despeje. Pasamos $BX$ al primer miembro y sacamos $X$ factor común por la derecha:$$2AX - BX = I \;\Longrightarrow\; (2A - B)\,X = I$$La matriz $2A - B$.$$2A - B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$¿Tiene inversa? $|2A - B| = (-1)(-2) - 1\cdot(-1) = 2 + 1 = 3 \neq 0$, así que sí, y la solución existe y es única: $X = (2A - B)^{-1}$.

Inversa. En una matriz $2\times 2$ se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante:$$X = (2A - B)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac23 & -\frac13 \\[4pt] \frac13 & -\frac13 \end{pmatrix}$$Comprobación.$$(2A - B)X = \frac13\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 2 + 1 & 1 - 1 \\ 2 - 2 & 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \ \checkmark$$b) Cálculo de $A^2$.$$A^2 = \begin{pmatrix} \frac12 & 1 \\ 0 & -\frac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac12 & 1 \\ 0 & -\frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac14 + 0 & \frac12 - \frac12 \\[4pt] 0 & \frac14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac14 & 0 \\[4pt] 0 & \frac14 \end{pmatrix} = \frac14\, I$$Sustitución. Entonces $4A^2 = I$ y la ecuación queda$$4A^2 + \alpha A - I = I + \alpha A - I = \alpha A = 0$$Valor de $\alpha$. Como $A$ no es la matriz nula (tiene elementos distintos de cero), $\alpha A = 0$ solo se cumple si $\alpha = 0$. Elemento a elemento: $\frac{\alpha}{2} = 0$, $\alpha = 0$, $-\frac{\alpha}{2} = 0$, todas con la única solución $\alpha = 0$.

Comprobación. Con $\alpha = 0$: $4A^2 - I = I - I = 0$ ✓.

c) Potencia par. Como $A^2 = \frac14 I$ y la identidad conmuta con todo y cumple $I^n = I$:$$A^{12} = \left(A^2\right)^6 = \left(\frac14\, I\right)^6 = \frac{1}{4^6}\, I = \frac{1}{4096}\, I$$Resultado.$$A^{12} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4096} & 0 \\[4pt] 0 & \frac{1}{4096} \end{pmatrix}$$