Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (reserva)

Totales de la tabla. Antes de nada sumamos filas y columnas:La suma general da 120, el número de encuestados ✓.

a) Suceso contrario. Sea $E$ = «su obra preferida es el ensayo». Lo prefieren $1 + 3 + 6 = 10$ personas, así que$$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{10}{120} = \frac{110}{120} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167$$b) Probabilidad condicionada. Sean $Q$ = «prefiere la poesía» y $M$ = «tiene 25 años o más» (las filas de 25 a 60 y de más de 60). Nos piden $P(M \mid \overline{Q})$:$$P(M \mid \overline{Q}) = \frac{P(M \cap \overline{Q})}{P(\overline{Q})}$$Casos posibles. No prefieren poesía $120 - 35 = 85$ personas.

Casos favorables. De ellas, tienen 25 años o más las de las dos últimas filas sin contar la columna de poesía:$$(22 + 10 + 3) + (8 + 11 + 6) = 35 + 25 = 60$$Cociente.$$P(M \mid \overline{Q}) = \frac{60/120}{85/120} = \frac{60}{85} = \frac{12}{17} \approx 0{,}7059$$c) Probabilidad de éxito. Entre los 52 miembros de 25 a 60 años, prefieren teatro o ensayos $10 + 3 = 13$ (son sucesos incompatibles: cada persona tiene un solo tipo preferido, así que se suman):$$p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$Modelo. Sea $X$ = número de los 10 miembros que prefieren teatro o ensayos. Cada uno lo prefiere con probabilidad $0{,}25$, independientemente de los demás (como es habitual, se supone que la elección se hace con reemplazamiento o en un grupo grande), así que$$X \sim B(10;\ 0{,}25)$$Como mucho 3. Es $P(X \le 3)$, que se lee directamente en la tabla de la binomial ($n = 10$, $k = 3$, $p = 0{,}25$):$$P(X \le 3) = 0{,}7759$$Comprobación con la fórmula.$$P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k}\,0{,}25^k\,0{,}75^{10-k} = 0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503 = 0{,}7759 \ \checkmark$$