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Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Enunciado

Una costa marítima se extiende en línea recta hacia la derecha desde un punto

P

de la costa. A 8 km de

P

hay una refinería situada en la costa. Además, hay una plataforma petrolífera en el mar que está situada a 6 km de distancia de

P

en la recta perpendicular a la costa desde el punto

P

. Se construirá un oleoducto desde la plataforma hasta la refinería. El coste de construir el oleoducto bajo el agua es de 1 millón de euros por kilómetro y el de construirlo sobre tierra, de 0,6 millones de euros por kilómetro.

Esquema: la plataforma petrolera está 6 km mar adentro, en la perpendicular a la costa por el punto de la costa P; la refinería está en la costa, a 8 km de P. El oleoducto va en línea recta por el mar desde la plataforma hasta un punto de la costa situado a x km de la refinería y sigue por tierra, a lo largo de la costa, esos x km.

a) Encontrar la función del coste de construcción del oleoducto dependiendo de la distancia,

x

, entre el primer punto donde el oleoducto toca la costa y la refinería. (0,5 puntos)

b) Encontrar el valor de

x

para que el coste de construcción del oleoducto sea mínimo. (1,5 puntos)

c) Calcular dicho coste. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

C(x) = \sqrt{36 + (8 - x)^2} + 0{,}6\,x

millones de euros, con

0 \le x \le 8

.

b) El coste es mínimo para

x = 3{,}5

km (el oleoducto toca la costa a 4,5 km de

P

).

c) El coste mínimo es

C(3{,}5) = 9{,}6

millones de euros (frente a 10 millones yendo todo por mar y 10,8 millones yendo a

P

y luego por tierra).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El oleoducto tiene dos tramos: uno bajo el agua, en línea recta desde la plataforma hasta un punto

Q

de la costa, y otro por tierra, de

Q

a la refinería, que mide

x

km. El tramo por tierra es más barato, pero cuanto más largo es, más se aleja

Q

de la plataforma… y no siempre compensa.

El tramo bajo el agua es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $6$ km (de la plataforma a $P$ ) y $8 - x$ km (de $P$ a $Q$ ): Pitágoras.
El coste es $1 \cdot (\text{km bajo el agua}) + 0{,}6 \cdot (\text{km por tierra})$ , en millones de euros, con $x \in [0, 8]$ .
Se minimiza derivando, igualando a cero y comprobando que es un mínimo (y que mejora los extremos del intervalo).

Desarrollo

a) Tramo bajo el agua. El punto

Q

donde el oleoducto toca la costa está a

x

km de la refinería, así que está a

8 - x

km de

P

. La plataforma,

P

Q

forman un triángulo rectángulo en

P

\overline{\text{plataforma}\,Q} = \sqrt{6^2 + (8 - x)^2} = \sqrt{36 + (8 - x)^2}\ \text{km}

Tramo por tierra. Mide

x

km.

Coste (en millones de euros):

C(x) = 1\cdot\sqrt{36 + (8 - x)^2} + 0{,}6\,x, \qquad 0 \le x \le 8

b) Derivada. Por la regla de la cadena,

C'(x) = \frac{2(8 - x)\cdot(-1)}{2\sqrt{36 + (8 - x)^2}} + 0{,}6 = 0{,}6 - \frac{8 - x}{\sqrt{36 + (8 - x)^2}}

Punto crítico. Llamando

u = 8 - x \ge 0

C'(x) = 0

\frac{u}{\sqrt{36 + u^2}} = 0{,}6 \iff u^2 = 0{,}36\left(36 + u^2\right) \iff 0{,}64\,u^2 = 12{,}96 \iff u^2 = 20{,}25

Como

u \ge 0

u = 4{,}5

, es decir,

8 - x = 4{,}5

x = 3{,}5\ \text{km}

Es un mínimo. El signo de

C'

cambia de negativo a positivo:

C'(0) = 0{,}6 - \frac{8}{10} = -0{,}2 < 0, \qquad C'(8) = 0{,}6 - 0 = 0{,}6 > 0

(También

C''(x) = \dfrac{36}{\left(36 + (8 - x)^2\right)^{3/2}} > 0

.) Así que

C

decrece en

[0;\ 3{,}5)

y crece en

(3{,}5;\ 8]

: en

x = 3{,}5

está el mínimo absoluto en el intervalo.

c) Coste mínimo.

C(3{,}5) = \sqrt{36 + 4{,}5^2} + 0{,}6\cdot 3{,}5 = \sqrt{56{,}25} + 2{,}1 = 7{,}5 + 2{,}1 = 9{,}6

Comparación con los extremos. Todo bajo el agua,

C(0) = \sqrt{100} = 10

; ir primero a

P

y luego por tierra,

C(8) = 6 + 4{,}8 = 10{,}8

. Los dos son más caros ✓.

Consejo

Lo que más cuesta es a): fíjate en que $x$ se mide desde la refinería, así que el cateto horizontal del triángulo es $8 - x$ , no $x$ . Haz el dibujo con las distancias antes de escribir la función, y di su dominio, $[0, 8]$ .

En b), no basta con resolver $C'(x) = 0$ : justifica que es un mínimo (signo de $C'$ o de $C''$ ) y, como la función está en un intervalo cerrado, compárala con los extremos. Al elevar al cuadrado, quédate con la raíz que cumple $8 - x \ge 0$ .

Paso 1 de 3

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