Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

a) Derivada.$$f'(x) = 4x^3 - 14x = 2x\left(2x^2 - 7\right)$$Puntos críticos. $f'(x) = 0 \iff x = 0$ o $x^2 = \dfrac{7}{2}$, es decir,$$x = 0, \qquad x = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2} \approx \pm 1{,}87$$Signo de $f'$. Con un valor de prueba en cada intervalo:Valores en los extremos.$$f(0) = 16, \qquad f\left(\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7\cdot\frac{7}{2} + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = \frac{15}{4} = 3{,}75$$Conclusión. $f$ decrece en $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{14}}{2}\right) \cup \left(0, \frac{\sqrt{14}}{2}\right)$ y crece en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}, 0\right) \cup \left(\frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty\right)$. Tiene un máximo relativo en $(0, 16)$ y mínimos relativos en $\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{15}{4}\right)$ y $\left(\frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{15}{4}\right)$.

b) Puntos de corte.$$x^4 - 7x^2 + 16 = x^2 \iff x^4 - 8x^2 + 16 = 0 \iff \left(x^2 - 4\right)^2 = 0 \iff x = \pm 2$$Qué curva va por encima. La diferencia es un cuadrado:$$f(x) - g(x) = \left(x^2 - 4\right)^2 \ge 0$$así que $f$ está siempre por encima de $g$ y solo la toca en $x = \pm 2$. Entre $-2$ y $2$ queda un recinto cerrado (en $x = 0$, $f = 16$ y $g = 0$); fuera de ese intervalo la diferencia crece sin límite y no hay más recintos finitos. (Ojo: cerca de $x = \pm 1{,}87$ las curvas están muy juntas, $3{,}75$ frente a $3{,}5$, pero no se cortan.)

Área. Como el integrando es par, se integra de $0$ a $2$ y se multiplica por 2:$$\text{Área} = \int_{-2}^{2}\left(x^4 - 8x^2 + 16\right)dx = 2\int_{0}^{2}\left(x^4 - 8x^2 + 16\right)dx$$$$= 2\left[\frac{x^5}{5} - \frac{8x^3}{3} + 16x\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5} - \frac{64}{3} + 32\right) = 2\cdot\frac{96 - 320 + 480}{15} = \frac{512}{15}$$$$\text{Área} = \frac{512}{15} \approx 34{,}13\ \text{u}^2$$