Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Datos. Punto y vector de $r$: $A = (1, -1, 1)$, $\vec v = (1, -2, 0)$. Normal de $\pi$: $\vec n = (2, 1, 0)$.

a) Normal del plano buscado. Sus direcciones son $\vec v$ y $\vec n$ (no son proporcionales), así que su normal es$$\vec v \times \vec n = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1 + 4) = (0, 0, 5)$$o, más sencillo, $(0, 0, 1)$.

Ecuación. Un plano con normal $(0, 0, 1)$ es $z + D = 0$, y pasando por $A = (1, -1, 1)$, $1 + D = 0$, $D = -1$:$$z = 1 \qquad (z - 1 = 0)$$Comprobación. La recta $r$ tiene $z = 1$ en todos sus puntos, así que está en el plano. Y su normal $(0, 0, 1)$ es perpendicular a la de $\pi$: $(0, 0, 1)\cdot(2, 1, 0) = 0$, así que los planos son perpendiculares ✓.

b) ¿Es $r$ paralela a $\pi$?$$\vec v \cdot \vec n = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0$$La dirección de la recta es perpendicular a la normal de $\pi$: $r$ es paralela a $\pi$ (o está contenida en él). Como $A$ no está en $\pi$ ($2\cdot 1 + (-1) - 3 = -2 \ne 0$), $r$ es paralela y exterior. Por eso sí existe un plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$, y es único.

Ecuación. Los planos paralelos a $\pi$ son $2x + y + D = 0$. Imponiendo que pase por $A$:$$2\cdot 1 + (-1) + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D = -1$$$$2x + y - 1 = 0$$Comprobación. Un punto cualquiera de $r$ cumple $2(1 + \alpha) + (-1 - 2\alpha) - 1 = 0$ para todo $\alpha$ ✓.