Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

a) Matrices. El sistema formado por los dos planos tiene$$M = \begin{pmatrix} 2 & -a^2 & -a \\ a-1 & -a & -1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \begin{pmatrix} 2 & -a^2 & -a & a-1 \\ a-1 & -a & -1 & a \end{pmatrix}$$Menores de orden 2 de $M$.$$\begin{vmatrix} 2 & -a^2 \\ a-1 & -a \end{vmatrix} = -2a + a^2(a-1) = a^3 - a^2 - 2a = a(a-2)(a+1)$$$$\begin{vmatrix} 2 & -a \\ a-1 & -1 \end{vmatrix} = -2 + a(a-1) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$$$$\begin{vmatrix} -a^2 & -a \\ -a & -1 \end{vmatrix} = a^2 - a^2 = 0$$Los tres se anulan a la vez solo si $a = 2$ o $a = -1$ (con $a = 0$ el segundo vale $-2$).

Caso $a \ne 2$ y $a \ne -1$. $\operatorname{rg} M = 2$: los normales no son proporcionales y los planos se cortan en una recta.

Caso $a = 2$. Los planos son $\pi_1:\ 2x - 4y - 2z = 1$ y $\pi_2:\ x - 2y - z = 2$. La primera fila de $M$ es el doble de la segunda, así que $\operatorname{rg} M = 1$. En la ampliada,$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rg} M^* = 2$$y los planos son paralelos no coincidentes (multiplicando $\pi_2$ por 2 queda $2x - 4y - 2z = 4$, con otro término independiente).

Caso $a = -1$. Los planos son $\pi_1:\ 2x - y + z = -2$ y $\pi_2:\ -2x + y - z = -1$. La segunda fila de $M$ es la primera cambiada de signo: $\operatorname{rg} M = 1$. En la ampliada,$$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 4 = -6 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rg} M^* = 2$$y de nuevo son paralelos no coincidentes ($\pi_2$ es $2x - y + z = 1$).

Coincidentes. No hay ningún valor de $a$ para el que coincidan.

b) Planos para $a = 0$. $\pi_1:\ 2x = -1$ y $\pi_2:\ -x - z = 0$, con normales$$\vec n_1 = (2, 0, 0), \qquad \vec n_2 = (-1, 0, -1)$$Ángulo. El ángulo entre dos planos es el agudo que forman sus normales:$$\cos\alpha = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} = \frac{|-2 + 0 + 0|}{2\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}$$c) Distancia. Con $\pi_1:\ 2x + 1 = 0$ y $P = (1, 0, -1)$:$$d(P, \pi_1) = \frac{|2\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{3}{2}$$(Se ve también a ojo: $\pi_1$ es el plano $x = -\frac{1}{2}$ y $P$ tiene $x = 1$, así que la distancia es $1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$.)