Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Enunciado

Se considera la matriz

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix},

que depende de un parámetro real

m

, y las matrices

E = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.

Se pide:

a) Indicar, si existen, los valores del parámetro

m

para los que

D

tiene inversa. (0,5 puntos)

b) Calcular las matrices

EF

(FE)^t

, si existen. (1 punto)

c) Resolver, para

m = 0

, la ecuación matricial con incógnita

X

: (1 punto)

\frac{1}{2}X + D = D^{-1}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|D| = -m^2 - 1 \ne 0

para todo

m

D

tiene inversa para cualquier

m \in \mathbb{R}

.

b)

EF = (6)

(FE)^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & 8 & -4 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}

.

c)

X = 2\left(D^{-1} - D\right) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Se calcula $|D|$ en función de $m$ y se mira cuándo se anula. La columna central tiene dos ceros: desarrollando por ella la cuenta es de una línea.
En b), antes de multiplicar hay que mirar las dimensiones: $E$ es $1\times 3$ y $F$ es $3\times 1$ . $EF$ es $1\times 1$ (un número entre paréntesis) y $FE$ es $3\times 3$ . Ojo: el producto no es conmutativo, y aquí ni siquiera tienen el mismo tamaño.
En c), se despeja $X$ como en una ecuación normal, pero sin dividir entre matrices: $X = 2\left(D^{-1} - D\right)$ . Solo hay que calcular $D^{-1}$ para $m = 0$ .

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollamos por la segunda columna, cuyo único elemento no nulo es

d_{32} = -1

, con signo

(-1)^{3+2} = -1

|D| = (-1)\cdot(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{vmatrix} = -1 - m^2

Inversa.

|D| = -(1 + m^2)

, y

1 + m^2 \ge 1

para todo

m

real, así que

|D| \ne 0

siempre: $D$ tiene inversa para cualquier valor de $m$ .

b) Producto $EF$ .

E

1\times 3

F

3\times 1

: el número de columnas de

E

coincide con el de filas de

F

y el resultado es

1\times 1

EF = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \end{pmatrix}

Producto $FE$ .

F

3\times 1

E

1\times 3

: existe y es

3\times 3

. Cada fila es el elemento de

F

por la fila

E

FE = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 8 & 6 \\ -1 & -4 & -3 \end{pmatrix}

Traspuesta. Las filas pasan a ser columnas:

(FE)^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & 8 & -4 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix}

(Se puede comprobar con la propiedad

(FE)^t = E^t F^t

.)

c) Despejar $X$ . Restamos

D

en los dos miembros y multiplicamos por 2:

\frac{1}{2}X = D^{-1} - D \quad\Longrightarrow\quad X = 2\left(D^{-1} - D\right)

La matriz para $m = 0$ .

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |D| = -1 - 0^2 = -1

Adjuntos. Calculamos los nueve:

D_{11} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad D_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad D_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0

D_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad D_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad D_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1

D_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad D_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1, \quad D_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

Inversa.

D^{-1} = \dfrac{1}{|D|}\left(\operatorname{Adj} D\right)^t

D^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación.

D\,D^{-1} = I

: por ejemplo, la tercera fila de

D

por las columnas de

D^{-1}

(2 - 2 + 0,\ 0 + 1 - 1,\ 0 + 1 + 0) = (0, 0, 1)

✓.

Solución.

X = 2\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\right] = 2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Consejo

En a) no basta con calcular el determinante: hay que concluir. « $-m^2 - 1$ nunca se anula, luego $D$ es invertible para todo $m$ » es lo que se puntúa.

En b), escribe las dimensiones antes de multiplicar ( $1\times 3$ por $3\times 1$ ): así no confundes $EF$ , que es un número, con $FE$ , que es una matriz $3\times 3$ . Y en c), despeja $X$ antes de sustituir, y comprueba la inversa multiplicando una fila: un signo mal puesto en un adjunto arruina el resultado.