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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio (especial)

Enunciado

Los vuelos que llegan a un aeropuerto se clasifican en tres grupos: vuelos puntuales, vuelos con retrasos de hasta tres horas y vuelos con retrasos de más de tres horas. La puntualidad de los vuelos se ve afectada por las condiciones meteorológicas del momento. Si las condiciones meteorológicas son buenas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 70% mientras que el 10% llegan con más de tres horas de retraso. Si las condiciones meteorológicas son malas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 40% mientras que el 30% llegan con más de tres horas de retraso. Se calcula que el 90% de los días las condiciones meteorológicas son buenas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo llegue con más de 3 horas de retraso? (0,5 puntos)

b) Sabiendo que un vuelo ha sido puntual, ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones meteorológicas fueran malas? (1 punto)

c) Un pasajero realiza un vuelo a dicho aeropuerto, desde donde debe tomar otro vuelo a su destino final. Este segundo vuelo enlaza si el primero llega con 3 horas o menos de retraso. Si realiza este viaje una vez al mes durante un año y viaja siempre en condiciones meteorológicas buenas ¿cuál es la probabilidad de que pueda enlazar con el vuelo a su destino final en todos sus viajes? (1 punto)

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Resultado

P(R_2) = 0{,}12

.

b)

P(M \mid T) = \dfrac{4}{67} \approx 0{,}0597

.

c) Con

X \sim B(12;\ 0{,}9)

P(X = 12) = 0{,}9^{12} \approx 0{,}2824

: enlaza en los doce viajes en algo más de un caso de cada cuatro.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: primero el tiempo que hace (bueno o malo) y después cómo llega el vuelo (puntual, con retraso de hasta 3 horas o con más de 3 horas). Lo natural es dibujar un diagrama de árbol; el dato que no se da, el retraso de hasta 3 horas, sale por diferencia hasta el 100 %.

En a) se suman las dos ramas que acaban en «más de 3 horas»: probabilidad total.
En b) se conoce el final (el vuelo fue puntual) y se pregunta por el principio (el tiempo): es Bayes.
En c) el tiempo ya está fijado (siempre bueno), así que cada viaje enlaza con la misma probabilidad. Doce viajes independientes con dos resultados: una binomial $B(12;\ p)$ , y se pide que los doce sean éxitos.

Desarrollo

Sucesos. Llamamos

B

= «condiciones buenas»,

M

= «condiciones malas»,

T

= «vuelo puntual (a tiempo)»,

R_1

= «retraso de hasta 3 horas» y

R_2

= «retraso de más de 3 horas». Los datos son

P(B) = 0{,}9 \qquad P(M) = 0{,}1

P(T \mid B) = 0{,}7 \qquad P(R_2 \mid B) = 0{,}1 \qquad P(R_1 \mid B) = 1 - 0{,}7 - 0{,}1 = 0{,}2

P(T \mid M) = 0{,}4 \qquad P(R_2 \mid M) = 0{,}3 \qquad P(R_1 \mid M) = 1 - 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}3

Árbol. De la raíz salen las ramas

B

(0,9) y

M

(0,1); de cada una, tres ramas

T

R_1

R_2

con las probabilidades condicionadas de arriba.

a) Probabilidad total. Un retraso de más de 3 horas puede darse con buen o con mal tiempo:

P(R_2) = P(B)\,P(R_2 \mid B) + P(M)\,P(R_2 \mid M) = 0{,}9 \cdot 0{,}1 + 0{,}1 \cdot 0{,}3 = 0{,}09 + 0{,}03 = 0{,}12

b) Probabilidad de que sea puntual. Primero, también por la probabilidad total:

P(T) = 0{,}9 \cdot 0{,}7 + 0{,}1 \cdot 0{,}4 = 0{,}63 + 0{,}04 = 0{,}67

Bayes. De los vuelos puntuales, ¿qué parte llegó con mal tiempo?

P(M \mid T) = \frac{P(M)\,P(T \mid M)}{P(T)} = \frac{0{,}04}{0{,}67} = \frac{4}{67} \approx 0{,}0597

c) Un viaje. Con buen tiempo, enlaza si el primer vuelo llega puntual o con un retraso de hasta 3 horas:

p = P(T \mid B) + P(R_1 \mid B) = 0{,}7 + 0{,}2 = 0{,}9 \qquad (\text{o bien } 1 - P(R_2 \mid B) = 1 - 0{,}1)

Doce viajes. Uno al mes durante un año son 12 viajes, independientes y todos con buen tiempo. Sea

X

= número de viajes en los que enlaza:

X \sim B(12;\ 0{,}9)

. Se pide que enlace en todos:

P(X = 12) = \binom{12}{12}\,0{,}9^{12}\,0{,}1^{0} = 0{,}9^{12} \approx 0{,}2824

Con la tabla. La tabla del examen solo llega a

p = 0{,}5

, así que se cuentan los viajes en que no enlaza,

Y = 12 - X \sim B(12;\ 0{,}1)

: enlazar en todos es

Y = 0

, y en la tabla

P(Y \le 0) = 0{,}2824

✓.

Consejo

Escribe el árbol con las tres ramas de cada tiempo: el retraso de hasta 3 horas no se da y hay que sacarlo restando a 1. Es justo el dato que necesitas en c).

En b) la pregunta va «al revés» (del resultado a la causa): en cuanto lo veas, piensa en Bayes y calcula antes $P(T)$ . En c), di qué variable es binomial y con qué $n$ y $p$ ; si $p > 0{,}5$ y la tabla no llega, cuenta los fracasos.