Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

a) Dominio. El denominador se anula en $x = 0$: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Asíntota vertical.$$\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^2} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2} = +\infty$$La recta $x = 0$ es asíntota vertical, con la función subiendo a $+\infty$ por los dos lados.

Asíntota horizontal. $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2} = 0$: la recta $y = 0$ es asíntota horizontal por los dos lados (la función queda siempre por encima, porque $f(x) > 0$). No hay oblicuas.

Monotonía. $f(x) = x^{-2}$, así que$$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$que nunca se anula. Para $x < 0$, $x^3 < 0$ y $f'(x) > 0$; para $x > 0$, $f'(x) < 0$:

$f$ es creciente en $(-\infty, 0)$ y decreciente en $(0, +\infty)$. No tiene extremos ($x = 0$ no está en el dominio).

b) Gráfica de $f$. Dos ramas por encima del eje $OX$, simétricas respecto del eje $OY$ (la función es par): cada una sube hacia $+\infty$ al acercarse a $x = 0$ y se pega al eje $OX$ al alejarse. Pasa por $\left(\pm\frac12, 4\right)$, $(\pm 1, 1)$ y $\left(\pm 2, \frac14\right)$.

Gráfica de $g$. La recta de pendiente 8 que pasa por el origen: $(0, 0)$, $\left(\frac12, 4\right)$, $(1, 8)$.

Corte entre las dos.$$\frac{1}{x^2} = 8x \;\Longrightarrow\; 8x^3 = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{2}, \qquad y = 4$$Solo se cortan en $\left(\frac12, 4\right)$; para $x < 0$ la recta va por debajo del eje y la hipérbola por encima, así que no hay más cortes.

c) El recinto. Está en el primer cuadrante, entre $x = 0$ y $x = 1$. Sus lados son: el eje $OX$ (abajo), desde el origen hasta $(1, 0)$; la recta $x = 1$ (a la derecha), desde $(1, 0)$ hasta $(1, f(1)) = (1, 1)$; la hipérbola, desde $(1, 1)$ hasta el corte $\left(\frac12, 4\right)$; y la recta $y = 8x$, desde $\left(\frac12, 4\right)$ hasta el origen.

Qué curva va por debajo. En $\left(0, \frac12\right)$, por ejemplo en $x = \frac14$: $g = 2 < f = 16$, así que el techo del recinto es la recta. En $\left(\frac12, 1\right)$, en $x = \frac34$: $f = \frac{16}{9} \approx 1{,}78 < g = 6$, y el techo es la hipérbola.

Primera integral (bajo la recta).$$\int_0^{1/2} 8x\,dx = \Big[4x^2\Big]_0^{1/2} = 4\cdot\frac{1}{4} - 0 = 1$$Segunda integral (bajo la hipérbola).$$\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1} = (-1) - (-2) = 1$$Área total.$$\text{Área} = 1 + 1 = 2\ \text{u}^2$$Comprobación. La primera parte es un triángulo de base $\frac12$ y altura 4: $\frac12\cdot\frac12\cdot 4 = 1$ ✓.