Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2025 · Julio
Enunciado
Dado el plano π:3x+y−z=2\pi: 3x + y - z = 2 y los puntos P=(0,1,−1)P = (0, 1, -1) y Q=(1,a,1)Q = (1, a, 1), calcular:

a) Los valores del parámetro aa, si existen, para los que la recta que pasa por PP y QQ está contenida en el plano π\pi. (1,25 puntos)

b) Para a=1a = 1, el punto simétrico de QQ respecto del plano π\pi. (1,25 puntos)
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Resultado
a) Solo para a=0a = 0: entonces Q=(1,0,1)Q = (1, 0, 1) también está en π\pi y la recta PQPQ está contenida en el plano.

b) Para a=1a = 1, el pie de la perpendicular es M=(811,1011,1211)M = \left(\frac{8}{11}, \frac{10}{11}, \frac{12}{11}\right) y el simétrico de QQ es Q′=(511, 911, 1311)Q' = \left(\dfrac{5}{11},\ \dfrac{9}{11},\ \dfrac{13}{11}\right).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

a) Una recta está contenida en un plano cuando dos de sus puntos están en el plano. PP ya lo está (se comprueba), así que basta con exigir que QQ también lo esté. Equivale a pedir que P∈πP \in \pi y que el director PQ→\overrightarrow{PQ} sea perpendicular al normal del plano.

b) El simétrico Q′Q' se obtiene en tres pasos:
  1. la recta que pasa por QQ y es perpendicular a π\pi (su director es el normal n⃗=(3,1,−1)\vec n = (3, 1, -1));
  2. su corte con π\pi, que es el punto medio MM entre QQ y Q′Q' (la proyección de QQ sobre el plano);
  3. Q′=2M−QQ' = 2M - Q.
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Desarrollo

a) PP está en el plano. 3⋅0+1−(−1)=23\cdot 0 + 1 - (-1) = 2 ✓.

QQ en el plano. La recta PQPQ está contenida en π\pi si y solo si además Q∈πQ \in \pi:3⋅1+a−1=2  ⟹  a=03\cdot 1 + a - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; a = 0Comprobación con el director. PQ→=(1, a−1, 2)\overrightarrow{PQ} = (1,\ a - 1,\ 2) y n⃗=(3,1,−1)\vec n = (3, 1, -1):PQ→⋅n⃗=3+(a−1)−2=a=0  ⟺  a=0 ✓\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n = 3 + (a - 1) - 2 = a = 0 \iff a = 0 \ \checkmarkPara a=0a = 0, la recta es (x,y,z)=(0,1,−1)+μ (1,−1,2)(x, y, z) = (0, 1, -1) + \mu\,(1, -1, 2), y todos sus puntos cumplen 3μ+(1−μ)−(−1+2μ)=23\mu + (1 - \mu) - (-1 + 2\mu) = 2 ✓. Para cualquier otro aa la recta corta al plano solo en PP.

b) Datos. Con a=1a = 1, Q=(1,1,1)Q = (1, 1, 1). No está en el plano: 3+1−1=3≠23 + 1 - 1 = 3 \neq 2.

Recta perpendicular a π\pi por QQ.s:(x,y,z)=(1+3t, 1+t, 1−t),t∈Rs: (x, y, z) = (1 + 3t,\ 1 + t,\ 1 - t), \qquad t \in \mathbb{R}Corte con π\pi (punto medio MM).3(1+3t)+(1+t)−(1−t)=2  ⟹  3+11t=2  ⟹  t=−1113(1 + 3t) + (1 + t) - (1 - t) = 2 \;\Longrightarrow\; 3 + 11t = 2 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{11}M=(1−311, 1−111, 1+111)=(811, 1011, 1211)M = \left(1 - \frac{3}{11},\ 1 - \frac{1}{11},\ 1 + \frac{1}{11}\right) = \left(\frac{8}{11},\ \frac{10}{11},\ \frac{12}{11}\right)Simétrico. MM es el punto medio de QQ′QQ', así que Q′=2M−QQ' = 2M - Q:Q′=(1611−1, 2011−1, 2411−1)=(511, 911, 1311)Q' = \left(\frac{16}{11} - 1,\ \frac{20}{11} - 1,\ \frac{24}{11} - 1\right) = \left(\frac{5}{11},\ \frac{9}{11},\ \frac{13}{11}\right)(Es lo mismo que avanzar el doble por la recta: t=−211t = -\frac{2}{11} da Q′Q'.)

Comprobación. El punto medio de QQ y Q′Q' es (16/112,20/112,24/112)=M\left(\frac{16/11}{2}, \frac{20/11}{2}, \frac{24/11}{2}\right) = M ✓, M∈πM \in \pi: 24+10−1211=2\frac{24 + 10 - 12}{11} = 2 ✓, y QQ′→=(−611,−211,211)=−211(3,1,−1)\overrightarrow{QQ'} = \left(-\frac{6}{11}, -\frac{2}{11}, \frac{2}{11}\right) = -\frac{2}{11}(3, 1, -1) es paralelo al normal ✓.
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Consejo

Para que una recta esté contenida en un plano no basta con que su director sea perpendicular al normal (eso también lo cumple una recta paralela): hace falta además que uno de sus puntos esté en el plano. Dilo explícitamente.

En el simétrico, el corte con el plano es el punto medio, no el simétrico; el error más frecuente es dar MM como respuesta. Comprobar que MM está en el plano y que QQ′→\overrightarrow{QQ'} es paralelo al normal lleva un minuto.
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