Problema resuelto de Matemáticas II: Vectores y ángulosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

a) Condición de perpendicularidad.$$\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + m\cdot 1 = 1 + m = 0 \;\Longrightarrow\; m = -1$$Sí existe: con $m = -1$ los planos son perpendiculares.

b) Fórmula del ángulo. Con $|\vec n_1| = \sqrt{1 + 4 + m^2} = \sqrt{5 + m^2}$ y $|\vec n_2| = \sqrt 2$:$$\cos 45^\circ = \frac{|1 + m|}{\sqrt{5 + m^2}\,\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}$$Ecuación en $m$. Multiplicando por $\sqrt 2\,\sqrt{5 + m^2}$:$$|1 + m| = \frac{\sqrt 2\cdot\sqrt 2}{2}\sqrt{5 + m^2} = \sqrt{5 + m^2}$$Elevando al cuadrado (los dos miembros son no negativos):$$1 + 2m + m^2 = 5 + m^2 \;\Longrightarrow\; 2m = 4 \;\Longrightarrow\; m = 2$$Comprobación. Con $m = 2$: $\vec n_1 = (1, 2, 2)$, $|\vec n_1| = 3$, $\vec n_1\cdot\vec n_2 = 3$ y $\cos\alpha = \dfrac{3}{3\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$, es decir, $\alpha = 45^\circ$ ✓.

c) Los planos se cortan siempre. La matriz de coeficientes $\begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ tiene el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, así que su rango es 2 para todo $m$: los planos son secantes.

Resolución con $z = \lambda$. De $\pi_2$: $x = 6 - \lambda$. Sustituyendo en $\pi_1$:$$6 - \lambda + 2y + m\lambda = -1 \;\Longrightarrow\; 2y = -7 + (1 - m)\lambda \;\Longrightarrow\; y = -\frac{7}{2} + \frac{1 - m}{2}\,\lambda$$Ecuación paramétrica.$$r: \begin{cases} x = 6 - \lambda \\[2pt] y = -\dfrac{7}{2} + \dfrac{1 - m}{2}\,\lambda \\[2pt] z = \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación con el producto vectorial. El director de la recta es perpendicular a las dos normales:$$\vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & m \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2,\ m - 1,\ -2)$$que es $-2$ veces el director $\left(-1,\ \frac{1 - m}{2},\ 1\right)$ obtenido ✓. Y el punto $\left(6, -\frac{7}{2}, 0\right)$ cumple las dos ecuaciones: $6 - 7 + 0 = -1$ y $6 + 0 = 6$ ✓.

Por ejemplo, para el valor de b), $m = 2$: $x = 6 - \lambda$, $y = -\frac{7}{2} - \frac{\lambda}{2}$, $z = \lambda$; y para el de a), $m = -1$: $x = 6 - \lambda$, $y = -\frac{7}{2} + \lambda$, $z = \lambda$.