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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

Enunciado

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real

a

\begin{cases} x - ay - z = -a \\ ax - y + z = a \\ ax + y = a \end{cases}

Se pide:

a) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro

a

. (1,25 puntos)

b) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de

a

para los que el sistema es compatible determinado. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|M| = -(a + 1)^2

. Si

a \neq -1

: compatible determinado. Si

a = -1

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2

, compatible indeterminado (soluciones

(\lambda,\ \lambda - 1,\ 2\lambda - 2)

). Nunca es incompatible.

b) Para

a \neq -1

, la solución única es

\left(x, y, z\right) = \left(\dfrac{a}{a + 1},\ \dfrac{a}{a + 1},\ \dfrac{2a}{a + 1}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un sistema

3\times 3

con parámetro: se discute con el teorema de Rouché-Frobenius.

Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de $a$ . Donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado.
Para el valor que lo anula, se comparan el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada.

Para resolver en b) conviene aprovechar que la tercera ecuación da

y

en función de

x

: se sustituye en las otras dos y se despeja

z

de ambas. Así se evita la regla de Cramer con parámetro, aunque también vale.

Desarrollo

a) Matrices del sistema.

M = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -a & -1 & -a \\ a & -1 & 1 & a \\ a & 1 & 0 & a \end{array}\right)

Determinante de $M$ . Desarrollando por la primera fila:

|M| = 1\cdot\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a)\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) + a\cdot(-a) - (a + a)

|M| = -a^2 - 2a - 1 = -(a + 1)^2

Se anula solo para

a = -1

.

Caso $a \neq -1$ .

|M| \neq 0

, así que

\operatorname{rg} M = 3 = \operatorname{rg} M^* = n.^\circ

de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = -1$ . El sistema es

\begin{cases} x + y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ -x + y = -1 \end{cases}

La segunda ecuación es la primera multiplicada por

-1

(también el término independiente), así que sobra. El menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0

(filas 1 y 3, columnas de

x

y

) da

\operatorname{rg} M = 2

, y como en la ampliada la fila 2 sigue siendo

-1

por la fila 1, también

\operatorname{rg} M^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Para completar: de

-x + y = -1

x + y - z = 1

, con

x = \lambda

, sale

y = \lambda - 1

z = 2\lambda - 2

; las soluciones son

(\lambda,\ \lambda - 1,\ 2\lambda - 2)

\lambda \in \mathbb{R}

.

No hay ningún valor de $a$ para el que el sistema sea incompatible.

b) Valores pedidos. El sistema es compatible determinado para

a \neq -1

; resolvemos en general.

$y$ en función de $x$ . De la tercera ecuación:

y = a - ax = a(1 - x)

$z$ desde la segunda.

ax - a(1 - x) + z = a \Longrightarrow z = 2a - 2ax = 2a(1 - x)

.

Primera ecuación. Sustituyendo

y

z

x - a\cdot a(1 - x) - 2a(1 - x) = -a

x - a^2 + a^2x - 2a + 2ax = -a \;\Longrightarrow\; x\left(1 + 2a + a^2\right) = a^2 + a

x(a + 1)^2 = a(a + 1) \;\Longrightarrow\; x = \frac{a}{a + 1} \qquad (a \neq -1)

$y$ y $z$ . Como

1 - x = \dfrac{1}{a + 1}

y = \frac{a}{a + 1}, \qquad z = \frac{2a}{a + 1}

Comprobación. Primera:

\dfrac{a - a^2 - 2a}{a + 1} = \dfrac{-a(a + 1)}{a + 1} = -a

✓. Segunda:

\dfrac{a^2 - a + 2a}{a + 1} = \dfrac{a(a + 1)}{a + 1} = a

✓. Tercera:

\dfrac{a^2 + a}{a + 1} = a

✓.

Consejo

En la discusión, nombra el teorema de Rouché-Frobenius y da los rangos de $M$ y de $M^*$ en cada caso: decir solo «compatible indeterminado» sin justificar los rangos pierde puntos.

Al resolver con parámetro, la solución tiene que salir en función de $a$ y valer para todos los $a \neq -1$ a la vez; sustituirla en las tres ecuaciones es la mejor forma de cazar un signo equivocado.