Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

También trata: Determinantes

Enunciado

Se dan las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}

.

Obtener:

a) La matriz

X

solución de la ecuación

\left(A^{-1}X\right)^{-1} = A\left(B^2A\right)^{-1}

. (1,25 puntos)

b) El determinante de la matriz

\left(3A^5B\right)^2

. (0,5 puntos)

c) Los valores de

a

b

, si existen, tales que

aB^{100} + bB^{99} = A + C

. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

X = A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

(porque

B^2 = I

).

b)

\left|\left(3A^5B\right)^2\right| = 81

.

c)

a = 1

b = 0

(con

B^{100} = I

B^{99} = B

A + C = I

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las tres preguntas se simplifican muchísimo con una sola cuenta: $B^2$ . Al calcularla sale la identidad, y con eso:

en a), $(B^2A)^{-1} = A^{-1}$ , así que el segundo miembro es $AA^{-1} = I$ y la ecuación se despeja en una línea (con cuidado con el orden de los productos, que no conmutan);
en b) no hace falta calcular $A^5$ : basta con las propiedades del determinante, $|kM| = k^2|M|$ en $2\times 2$ , $|MN| = |M|\,|N|$ y $|M^n| = |M|^n$ ;
en c), las potencias de $B$ se alternan entre $I$ y $B$ , así que $B^{100} = I$ y $B^{99} = B$ , y queda un sistema muy sencillo en $a$ y $b$ .

Desarrollo

Cálculo previo: $B^2$ .

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 2 - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Determinantes de $A$ y $B$ .

|A| = (-2)(-2) - 1\cdot 3 = 1 \neq 0

(luego

A

tiene inversa) y

|B| = 1\cdot(-1) - 2\cdot 0 = -1

.

a) Segundo miembro. Como

B^2 = I

B^2A = A

A\left(B^2A\right)^{-1} = A\,A^{-1} = I

Despeje. La ecuación queda

\left(A^{-1}X\right)^{-1} = I

. Si la inversa de una matriz es

I

, la matriz es

I

(invirtiendo los dos miembros):

A^{-1}X = I \;\Longrightarrow\; X = A\,I = A

Multiplicamos por

A

por la izquierda, que es donde está

A^{-1}

.

Solución.

X = A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

Comprobación.

A^{-1}X = A^{-1}A = I

, cuya inversa es

I

, que coincide con el segundo miembro ✓.

(Sin darse cuenta de que

B^2 = I

se llega a lo mismo:

\left(A^{-1}X\right)^{-1} = X^{-1}A

A\left(B^2A\right)^{-1} = AA^{-1}\left(B^2\right)^{-1} = B^{-2}

, de donde

X^{-1} = B^{-2}A^{-1}

X = AB^2 = A

.)

b) Propiedades del determinante. Para matrices

2\times 2

|3M| = 3^2|M|

; además el determinante de un producto es el producto de determinantes y

|M^n| = |M|^n

\left|\left(3A^5B\right)^2\right| = \left|3A^5B\right|^2 = \left(3^2\,|A|^5\,|B|\right)^2 = \left(9\cdot 1^5\cdot(-1)\right)^2 = (-9)^2 = 81

c) Potencias de $B$ . Como

B^2 = I

, las potencias pares son la identidad y las impares,

B

B^{100} = \left(B^2\right)^{50} = I, \qquad B^{99} = B^{98}B = I\,B = B

Segundo miembro.

A + C = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ 3 - 3 & -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Sistema. La ecuación queda

aI + bB = I

\begin{pmatrix} a + b & 2b \\ 0 & a - b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a + b = 1 \\ 2b = 0 \\ a - b = 1 \end{cases} \;\Longrightarrow\; b = 0,\ a = 1

Las tres ecuaciones son compatibles, así que sí existen y son únicos.

Comprobación.

1\cdot B^{100} + 0\cdot B^{99} = I = A + C

✓.

Consejo

Ante potencias altas de una matriz, calcula primero $B^2$ (y si hace falta $B^3$ ): casi siempre sale $I$ , $-I$ o algo que se repite, y el ejercicio está pensado para eso.

En las ecuaciones matriciales, el orden importa: si $A^{-1}$ está a la izquierda de $X$ , multiplica por $A$ por la izquierda. Y en el determinante de $3M$ con $M$ de orden 2, el 3 sale al cuadrado: $|3M| = 9|M|$ , no $3|M|$ .