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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2025 · Julio

Enunciado

La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las

3/5

partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones? (0,75 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones? (0,75 puntos)

c) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que

0{,}999

. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo? (1 punto)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(X = 0) = 0{,}4^4 = 0{,}0256

.

b)

P(X \le 2) = 0{,}5248

.

c) Hacen falta al menos

n = 8

publicaciones (

1 - 0{,}4^8 \approx 0{,}99934 > 0{,}999

, mientras que con 7 solo se llega a

0{,}9984

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada publicación es un ensayo con dos resultados (recibe Like o no) y la misma probabilidad de éxito,

p = 3/5 = 0{,}6

; suponemos que unas publicaciones no influyen en otras. Así, el número de publicaciones con Like entre

n

publicaciones sigue una binomial

B(n;\ 0{,}6)

En a) y b), $n = 4$ : «ninguno» es $X = 0$ y «no más de dos» es $X \le 2$ .
La tabla del examen solo llega a $p = 0{,}5$ . Por eso conviene contar los fracasos (publicaciones sin Like), $Y = 4 - X \sim B(4;\ 0{,}4)$ , que sí está en la tabla.
En c) se trabaja con el suceso contrario: «al menos un Like» es lo contrario de «ningún Like», cuya probabilidad es $0{,}4^n$ . Queda una desigualdad exponencial que se resuelve con logaritmos.

Desarrollo

a) Modelo. Sea

X

= número de publicaciones con Like entre las cuatro:

X \sim B(4;\ 0{,}6)

, con

q = 1 - p = 0{,}4

.

Ninguno. Las cuatro publicaciones se quedan sin Like:

P(X = 0) = \binom{4}{0}\,0{,}6^0\,0{,}4^4 = 0{,}4^4 = 0{,}0256

(Con la tabla: es

P(Y = 4)

B(4;\ 0{,}4)

, es decir,

1 - P(Y \le 3) = 1 - 0{,}9744 = 0{,}0256

.)

b) No más de dos. Es

P(X \le 2)

; lo más corto es restar a 1 los casos de 3 y 4 Likes:

P(X = 3) = \binom{4}{3}\,0{,}6^3\,0{,}4 = 4 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}4 = 0{,}3456

P(X = 4) = 0{,}6^4 = 0{,}1296

P(X \le 2) = 1 - 0{,}3456 - 0{,}1296 = 0{,}5248

Con la tabla. Recibir como mucho dos Likes es lo mismo que quedarse al menos dos publicaciones sin Like:

P(X \le 2) = P(Y \ge 2) = 1 - P(Y \le 1)

, y en la tabla de

B(4;\ 0{,}4)

P(Y \le 1) = 0{,}4752

P(X \le 2) = 1 - 0{,}4752 = 0{,}5248 \ \checkmark

c) Suceso contrario. Con

n

publicaciones,

X \sim B(n;\ 0{,}6)

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}4^n

Desigualdad. Se pide

1 - 0{,}4^n > 0{,}999 \iff 0{,}4^n < 0{,}001

Logaritmos. Tomando logaritmos (el logaritmo es creciente) y dividiendo entre

\ln 0{,}4 < 0

, que cambia el sentido de la desigualdad:

n \ln 0{,}4 < \ln 0{,}001 \iff n > \frac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}4} = \frac{-6{,}9078}{-0{,}9163} \approx 7{,}54

Menor entero. El primer entero que lo cumple es

n = 8

.

Comprobación.

0{,}4^7 = 0{,}0016 > 0{,}001

(con 7 publicaciones,

P(X \ge 1) = 0{,}9984

, no basta) y

0{,}4^8 = 0{,}00066 < 0{,}001

(con 8,

P(X \ge 1) = 0{,}99934 > 0{,}999

) ✓.

Consejo

Antes de calcular, define la variable y di que es binomial con su $n$ y su $p$ : el corrector lo puntúa. Si $p$ es mayor que $0{,}5$ y la tabla no llega, cuenta los fracasos.

En c), al dividir entre $\ln 0{,}4$ (negativo) la desigualdad se da la vuelta; es el error típico. Y comprueba siempre los dos enteros vecinos (7 y 8): así queda claro que 8 es el menor.