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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2025 · Junio

Enunciado

Se consideran las curvas de ecuaciones

y = (x - 1)^2

y = (x + 1)^2

y = 7 - 3x

.

a) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas. (1,25 puntos)

b) Calcula el área del recinto del apartado anterior. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Recinto de vértices

(0, 1)

(1, 4)

(2, 1)

: por abajo

y = (x - 1)^2

; por arriba

y = (x + 1)^2

[0, 1]

y = 7 - 3x

[1, 2]

.

b)

\text{Área} = 2 + \dfrac{13}{6} = \dfrac{25}{6} \approx 4{,}17

u².

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos parábolas con el vértice en el eje

X

(en

x = 1

y en

x = -1

) y una recta decreciente. Primero se hallan los puntos de corte de cada par de curvas: los que caen en el primer cuadrante son los vértices del recinto.

Al dibujarlo se ve que la curva de arriba cambia a mitad del recinto: hasta

x = 1

es la parábola

(x + 1)^2

y desde ahí la recta. Por eso el área se parte en dos integrales, con la parábola

(x - 1)^2

siempre por debajo.

Desarrollo

a) Corte de las dos parábolas.

(x - 1)^2 = (x + 1)^2 \;\Longrightarrow\; -2x = 2x \;\Longrightarrow\; x = 0, \qquad \text{punto } (0, 1)

Corte de $y = (x - 1)^2$ con la recta.

x^2 - 2x + 1 = 7 - 3x \;\Longrightarrow\; x^2 + x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \text{ o } x = -3

En el primer cuadrante,

x = 2

: punto

(2, 1)

. (El otro,

(-3, 16)

, queda fuera.)

Corte de $y = (x + 1)^2$ con la recta.

x^2 + 2x + 1 = 7 - 3x \;\Longrightarrow\; x^2 + 5x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \text{ o } x = -6

En el primer cuadrante,

x = 1

: punto

(1, 4)

. (El otro,

(-6, 25)

, queda fuera.)

Dibujo del recinto. Es una especie de triángulo curvo de vértices

(0, 1)

(1, 4)

(2, 1)

por abajo, la parábola $y = (x - 1)^2$ , que baja de $(0, 1)$ a su vértice $(1, 0)$ y sube hasta $(2, 1)$ ;
por arriba a la izquierda, la parábola $y = (x + 1)^2$ , que sube de $(0, 1)$ a $(1, 4)$ ;
por arriba a la derecha, la recta $y = 7 - 3x$ , que baja de $(1, 4)$ a $(2, 1)$ .

Todo el recinto está en

0 \le x \le 2

y \ge 0

, dentro del primer cuadrante; toca el eje

X

solo en el vértice

(1, 0)

.

b) Planteamiento. Se parte en

x = 1

\text{Área} = \int_0^1 \Big[(x + 1)^2 - (x - 1)^2\Big]\,dx + \int_1^2 \Big[(7 - 3x) - (x - 1)^2\Big]\,dx

Primera integral.

(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x

\int_0^1 4x\,dx = \Big[2x^2\Big]_0^1 = 2

Segunda integral.

(7 - 3x) - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 - x + 6

\int_1^2 (-x^2 - x + 6)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x\right]_1^2 = \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6\right) = \frac{22}{3} - \frac{31}{6} = \frac{13}{6}

Área total.

\text{Área} = 2 + \frac{13}{6} = \frac{25}{6} \approx 4{,}17 \ \text{u}^2

Consejo

Calcula los tres pares de puntos de corte y quédate con los del primer cuadrante: el corrector da 0,75 puntos solo por ellos. En el dibujo, rotula cada curva y marca los vértices del recinto.

Si la curva de arriba cambia, la integral se parte: integrar «la de arriba menos la de abajo» de 0 a 2 con una sola función es el error típico de este ejercicio.

Paso 1 de 3

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Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función